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漸化式って、クイズっぽくて面白いですよね😊
備忘録👏65G"【(定数項つき) 三項間漸化式→ 定数項止め* の戦略】( α－4α＋4α＝1 より α＝1 ) (与式) ⇔ An+2 －4An+1 ＋4An ＝ 0* ･･･① ただし、 An＝ a(n)－1 とおいた。 これより、A1＝ a(1)－1＝ 0, A2＝ a(2)－1＝ 2 である。(中略) ①より、 An+1 －2An ＝ ( A2 －2A1 )× 2ⁿ⁻¹ ＝ 2ⁿ である。⇔ An+1/2ⁿ⁺¹ ＝ An/2ⁿ ＋1/2 (←等差数列) よって、An/2ⁿ ＝ A1/2¹ ＋(n－1)× 1/2＝ 1/2 (n－1) ⇔ An ＝ (n－1)･2ⁿ⁻¹ ⇔ a(n)－1＝ (n－1)･2ⁿ⁻¹ ⇔ a(n)＝ (n－1)･2ⁿ⁻¹ ＋1 ■
特性方程式とは？そもそも論から教えて頂けるので、うれしい。
3ヶ月ぶりに漸化式解きました。少し遠回りですが、定数項を無視して式変形をし、a(n+2)-2a(n+1)=2(a(n+1)-2a(n))+1と変形すると、(a(n+1)-2a(n))の部分をひとつの数列と見なして、a(n+1)=pa(n)+qのような基本の特殊解型に持ち込み、動画のような2項間漸化式にまで持っていけますね。 どちらにせよ定数項はオマケにすぎない、ということですね。
問題を見て「3項間漸化式やけど定数項ついてるやん。」、「特性方程式が重解やん。」という感じでしたが扱い方は今までの動画で学んできたので丁寧に処理して正解でした。確かに経験値が問われる問題だと思います。正解率がどの程度だったか気になるところです。
毎回特性方程式が作られる理由から話してくれてありがたい
週末ではありますが、私にしてはいつもより早い時間（それでも皆様よりは明らかに遅い時間）ではありますが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。note.com/pc3taro/n/n66ce0b3dc680漸化式本体が同じという意味では4/1の類題とも言えますし、非斉次項の扱いという意味では4/2の類題とも言えますね。この2日間の動画の答案について、関連答案として、上記リンクからたどれるようにしてあります。
特殊解で求めていく、あっさりしてていいです。
=1の処理は、An+1-An=Bnと見立てて、Bn+1=2Bn+1からBnを求めて…からもできましたね
a៷˖-4a៷˖+4a៷=1☆ (1は0次なので)“0”次式k-4k+4k=1を満たすものk=1で1 -4•1 +4•1 =1★なので☆-★から(a៷˖-1)-4(a៷˖-1)+4(a៷-1)=0a៷-1=b៷としてb=0,b=2b៷˖-4b៷˖+4b៷=0,➡︎b៷=2ⁿ⁻¹(n-1) →a៷=2 ⷫ⁻¹(n-1)+1こうすると、☆の右辺が1次でも、2次でも解けるようになります。
a៷˖-4a៷˖ꪱ+4a៷=n+1☆の時にはf(n)=an+bと置いてf(n+2)-4f(n+1)+4f(n)=n+1★式からa=1,b=3と求まるので☆-★から同様の流れで、2ⁿ⁻¹(2n-5)+(n+3)になります。
貫太郎先生の解法説明のお蔭で、かなり悪戦苦闘して解法の流れを掴むことが出来ました。 頭の中に問題を解く手順が明確になっており、正しく計算して答えを導く難しさを、痛感しました。 ありがとうございました。
色々別解がありそう。下記③を導いた後は、2^(n+1)で割るよりも先に定数項1の消去を優先。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a[1]=1, a[2]=3 …①； a[n+2] - 4a[n+1] + 4a[n] = 1...②（n=1, 2, ...）。 ②⇔ a[n+2] - (2+2)a[n+1] + (2^2)a[n] = 1 ⇔ a[n+2] - 2a[n+1] = 2(a[n+1] - 2a[n]) + 1 ⇔ a[n+2] - 2a[n+1] + 1 = 2(a[n+1] - 2a[n] + 1)。よって①とから、{a[n+1] - 2a[n] + 1}は 初項2 公比2 の等比数列。 ∴ a[n+1] - 2a[n] +1 = 2^n …③。 ③⇔ (a[n+1] - 1) - 2(a[n] - 1) = 2^n ⇔ (a[n+1] - 1)/2^(n+1) - (a[n] - 1)/2^n = 1/2。よって①とから、{(a[n] - 1)/2^n}は 初項0 公差1/2 の等差数列。 ∴ (a[n] - 1)/2^n = (1/2)(n - 1)。 ∴ a[n] = {2^(n-1)} (n - 1) + 1。■---------------------------------------------------※補足）例えば③の後は、2^nを無視したときの特性方程式を利用しているだけです。（答案には記載不要) a[n+1] - 2a[n] +1 = 2^n …③ t - 2t +1 = 0 …④③から④を辺々差し引いて (a[n+1] - t) - 2(a[n] - t) = 2^nであり、④ ⇔ t=1。
丸暗記せずに、考え方を根本から理解するって大事ですね😆
シンプルに2^n+1で割ればよかったんですね(涙)やられた...
大抵の漸化式の一般項を求める問題はいかに等差、等比、公差の形にもっていくかという問題が8割な気がします
基本問題ですね。a n+2 -2a n+1 +1 =2(a n+1 -2an +1)に変形ができるかだけです。
右辺の=1の処理は、a[n+2]-4a[n+1]-4a[n]=1と、それをずらした4a[n+1]-4a[n]-4a[n-1]=1の辺々ひいてA[n]=a[n]-a[n-1]とおいてA[n+2]-4A[n+1]-4A[n]=0としましたが（ただしA[n]のnは2からスタート）、動画のやり方だと一発で等比数列の漸化式まで持っていけますね。そこからA[n+1]-2A[n]=2(A[n]-2A[n-1])=・・・=2^(n-2)*(A[3]-2A[2])=2^(n-1)※以下、2^(n-1)で割るという方法を思い出せなかったのでごり押し「A[n]+(2^nを含む式)」の等比数列になると予想して、なにかしらの関数f(n)がA[n+1]-f(n+1)*2^(n+1)=2(A[n]-f(n)*2^n)をみたすとして2^nの係数を比較→f(n+1)-f(n)=1/4より、f(n)=n/4とすればよい。整理してA[n+1]-(n+1)*2^(n-1)=2(A[n]-n*2^(n-2))→A[n]-n*2^(n-2)=2{A[n-1]-(n-1)*2^(n-3)}=・・・=2^(n-2)(A[2]-2*2^0)=0（計算させといて結局0かよw！）→a[n]=a[n-1]+n*2^(n-2)a[n]=a[1]+{k=2からnまでのk*2^(k-2)の和}←地味にめんどくさいw
1:18a(n+1)=3(a(n))²+2a(n),a(1)=1ならa(n)=1/3 (-1 + 2² ⷫ )とできましたが、a(n+1)=3(a(n))²+2a(n)+n²+nは絶対無理です。.....
理想形の定数項を忘れてつじつまが合わず、計算ミスを探すのに時間がかかった。n=1,2で検算して合ってたから自信をもって動画を見て答え合わせをした
数列の問題は検算できるのがいいですね。
塾講のバイト始めようかと思っているので参考にします
an関連の式で等比作ってから定数とかnの式とか入れたほうが計算ミス防げるからスコ
めちゃわかる解説❣ ２＾k+1で両辺割り算のところがポイントですね。
等比型の特殊なものとして扱う。a[n+2]-4a[n+1]+4[n]=1 ..(1)が理想的な形に式変形できるものとして、下記の漸化式を考える。a[n+2]-pa[n+1]-q=r(a[n+1]-pa[n]-q)これを展開してa[n+2]-(p+r)a[n+1]+pra[n]=q-rqこれと (1) との係数比較でp+r=pr=4, q-rq=1これらを連立方程式として解いてp=2, q=-1, r=2したがって (1) はa[n+2]-2a[n+1]+1=2(a[n+1]-2a[n]+1)と変形できる。a[2]=3, a[1]=1 より、数列{a[n+1]-2a[n]+1} は初項が 2、公比が 2 の等比数列と考えられるからa[n+1]-2a[n]+1=2^nこれからa[n+2]-2a[n+1]+1=2^(n+1)を得、元の式と辺々引いて、(a[n+2]-a[n+1])-2(a[n+1]-a[n])=2^nここで b[n]=a[n+1]-a[n] とするとb[n+1]-2b[n]=2^n辺々 2^n で割ると(b[n+1]/(2^n))-(b[n]/(2^(n-1)))=1 ..(2)c[n]=b[n]/(2^(n-1)) と置き換えると (2) はc[n+1]-c[n]=1c[1]=b[1]/(2^0)=2 より、数列 {C[n]} は初項が 2、公差が 1 の等差数列であり、その一般項はc[n]=2+(n-1)=n+1これからb[n]=(n+1)×(2^(n-1)){b[n]} の一般項を使って {a[n]} の一般項を求めると、n≧2 のときにa[n]=a[1]+Σ(k=1, n-1)(b[k])b[k]=k×(2^(k-1))+2^(k-1) であり、Σ記号内部を２つに分けて計算すると、Σ(k=1, n-1)(k×(2^(k-1)))=1×1+2×2+3×(2^2)+...+(n-1)×(2^(n-2))全体を S とし、2S を考えて項をずらして辺々引くことで-S=1+2+2^2+2^3+...2^(n-2)-(n-1)×2^(n-1)1+2+2^2+2^3+...2^(n-2)=-1+2^(n-1) であるからS=1+(n-2)×2^(n-1)また、Σ(k=1, n-1)(2^(k-1))=-1+2^(n-1)であるから、a[n]=1+1+(n-2)×2^(n-1)-1+2^(n-1)=1+(n-1)×2^(n-1)これは n=1 のときにも成り立つから、すべての自然数 n についてa[n]=1+(n-1)×2^(n-1)
おはようございます。初コメです。等比数列の和の計算、この方法は初めて見ました。等比によっては確かに計算ミスの心配が少ないですね！
この動画で数列がある程度理解できたような気になりました！
後半の、ゴールが見えてきた辺りからの気分の高まりは堪りませんね。
右辺が0じゃないとやっぱ慣れない
基本の確認ってにおいがプンプンしますね。兵庫県立大学は2004年生まれの大学で、元々は神戸商科大学、姫路工業大学、兵庫県立看護大学の３つだったみたいですね。そのせいか、公立校としては国内最大級の規模、日本有数の歴史がある学校のようですね。つまり、今の高一と同い年なんですね。（引用元:Wikipedia）
へー！ 驚きです。
誰かしら貫太郎オリジナルの適当数列の一般項を求めた猛者がいないだろうかとコメント欄を全て見てみたが居なかった。期待しすぎたか。
漸化式の問題は解き方がひとつでないので、（どれだけ数をこなしたかという、）経験が問われますね。
階差のとこで公式に頼って案の定ミス…ちゃんと計算しないと。
等比数列の公式って使いづらいですよね。等比級数の計算なら項数のnが消えるので便利だけど，項数が有限の場合だとかえって間違えそうになります。特にこういう階差数列の階差の式に等比数列が登場する場合，下手に公式使わない方がいいと私も思います。あと，最初のγについてっは，この問題の場合，敢えて恒等式作らなくてもあっさり1って分かってしまいますね😀
覚えるメリットとしては、数列の極限を少しだけ早く求められることかな？大差ないけど。
@@江戸川こなん-g2y それくらいしかメリットを感じませんね😀
２回めです👦。👍️してます。もう一度、用語から再確認しました。著書の内容を理解するためにも、中学数学を中心に、５教科に取り組んでます⤴️。
こんばんは！最近漸化式とあまり戯れていなかったので、鈍っていました。しっかり復習しておきます！
定数項はオマケにすぎない=0と同じように考えてみるのが大事
その理想形を作るポイントを見つけられるようになるまで何問解かなきゃいけないんだよ（笑）まぁ、ただ、この問題の場合、最初の式が重解になるということで、2が絡んだ数列になる…ということで、それで方針が立ちやすい問題なのかなと。
いつもの3項間漸化式に階差数列が混じっただけなのに難しかったです。解答見て理解しました。
高校の時は、意味も分からずに特性方程式使ってました。
漸化式って種類によっての解法知らなくても、よくよく考えれば、なんか見えてくるんですよ。分かる方います？
n=6まで計算して、 Am=(m-1)・2^(m-1)-1
上記、訂正。-1 →+1すみません。
予想以上に俺の知りたいΣの導出とか内容が盛りだくさんで嬉しいわw相変わらず今日も高評価だなw
最初にbₙ=aₙ - 1とおくと、定数項が消えて、後半の等比数列の和が出てこなくなるので計算が少し楽でした。
(与式)⇔a[n+2]ー２a[n+1]＝２(a[n+1]ー２a[n])+１と変形する。a[2]ー２a[1]＝１ であるから、...(計算中略)...a[n+1]ー２a[n]＋１＝2^n 上式の両辺を2^n ＋１で割って{a[n+1]}/{2^(n+1)}ー{a[n]}/{2^n}＝(1/2)ー{2^(n+1)}ここで、z[n]＝a[n]/2^n とおくとz[1]＝1/2 より、n≧2のときz[n]＝z[1]＋Σ[1→n-1]{1/2+(1/2)^(n-1)}...(計算中略)...z[n]＝1/2{nー1＋(1/2)^(n-2)これは代入するとn＝1でも成立しているとわかるよって、a[n]＝(nー1)×2^(n-1)＋1
最後のＳｎの求め方 公式丸暗記ではカオス状態になりそう 貫さんが口酸っぱくいつも言われてるように 公式を誘導できる力が備わってれば動画のように楽にもとめていけることを実感しました！
右辺の4を左辺に組み込んでbn=an-1と置くと計算が簡単でした。
おはようございます。散歩中にグラジオラスの花🌸が、綺麗に咲いていました。立葵同様に、縦に伸びて花が咲いていました。家庭菜園の胡瓜も、天に向かってすくすくと伸びていました。私も数学を勉強して、真っ直ぐに伸びて行きたいです。さぁ、数学の勉強です。
なぜガンマを足すのか教えてください
定数があるからです。
=定数 の時は今回のような等比数列を作ることを意識してみます。ありがとうございます！
一つ上の漸化式を新たに作って、与えられた漸化式を引くやり方でやったら計算量エゲツなくて泣いた。
私の答案のPDFでの解法で行けば、隣接4項間斉次漸化式 a_1=1, a_2=3, a_3=9, a_{n+3}-5a_{n+2}+8a_{n+1}-4a_n=0 を解くと言うことになると思いますが、この4項間漸化式の特性方程式は t^3-5t^2+8t-4=0 であり、その解は t=1(単解) または t=2 (2重解) となるので、一般解を a_n=α・1^n+β・2^n+γ・n・2^n=α+β・2^n+γ・n・2^n （2が2重解のため、「次数上げ」が1回発生するので、n・2^n という項が出てきます。）とおき、n=1,2,3 を代入して未定係数 α,β,γ を定めれば求まりますね。
簡単なのに、度々計算間違えて、中々数が合わなかった。いきなり、a[n+1]－2a[n]+1＝2^nまで持っていってるクセに、そこから何度か計算間違えた❗アホか（笑）。動画の中のテキトーに作った問題もやってみたが断念❗a[n]+1/3でまとめられそうだったので、ひょっとして？と思ったが無理だったわ。
係数比較って超ベンリだよね〜
計算ミス祭り
２＾n+1でした。失礼しました。
漸化式って、クイズっぽくて面白いですよね😊
備忘録👏65G"【(定数項つき) 三項間漸化式→ 定数項止め* の戦略】( α－4α＋4α＝1 より α＝1 )
(与式) ⇔ An+2 －4An+1 ＋4An ＝ 0* ･･･① ただし、 An＝ a(n)－1 とおいた。 これより、
A1＝ a(1)－1＝ 0, A2＝ a(2)－1＝ 2 である。(中略) ①より、 An+1 －2An ＝ ( A2 －2A1 )× 2ⁿ⁻¹
＝ 2ⁿ である。⇔ An+1/2ⁿ⁺¹ ＝ An/2ⁿ ＋1/2 (←等差数列) よって、An/2ⁿ ＝ A1/2¹ ＋(n－1)× 1/2
＝ 1/2 (n－1) ⇔ An ＝ (n－1)･2ⁿ⁻¹ ⇔ a(n)－1＝ (n－1)･2ⁿ⁻¹ ⇔ a(n)＝ (n－1)･2ⁿ⁻¹ ＋1 ■
特性方程式とは？そもそも論から教えて頂けるので、うれしい。
3ヶ月ぶりに漸化式解きました。少し遠回りですが、定数項を無視して式変形をし、
a(n+2)-2a(n+1)=2(a(n+1)-2a(n))+1と変形すると、
(a(n+1)-2a(n))の部分をひとつの数列と見なして、a(n+1)=pa(n)+qのような基本の特殊解型に持ち込み、動画のような2項間漸化式にまで持っていけますね。 どちらにせよ定数項はオマケにすぎない、ということですね。
問題を見て「3項間漸化式やけど定数項ついてるやん。」、「特性方程式が重解やん。」という感じでしたが扱い方は今までの動画で学んできたので丁寧に処理して正解でした。
確かに経験値が問われる問題だと思います。
正解率がどの程度だったか気になるところです。
毎回特性方程式が作られる理由から話してくれてありがたい
週末ではありますが、私にしてはいつもより早い時間（それでも皆様よりは明らかに遅い時間）ではありますが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。
note.com/pc3taro/n/n66ce0b3dc680
漸化式本体が同じという意味では4/1の類題とも言えますし、非斉次項の扱いという意味では4/2の類題とも言えますね。この2日間の動画の答案について、関連答案として、上記リンクからたどれるようにしてあります。
特殊解で求めていく、あっさりしてていいです。
=1の処理は、
An+1-An=Bnと見立てて、
Bn+1=2Bn+1から
Bnを求めて…からもできましたね
a៷˖-4a៷˖+4a៷=1☆ (1は0次なので)
“0”次式k-4k+4k=1を満たすものk=1で
1 -4•1 +4•1 =1★なので
☆-★から
(a៷˖-1)-4(a៷˖-1)+4(a៷-1)=0
a៷-1=b៷としてb=0,b=2
b៷˖-4b៷˖+4b៷=0,
➡︎b៷=2ⁿ⁻¹(n-1) →a៷=2 ⷫ⁻¹(n-1)+1
こうすると、☆の右辺が1次でも、2次でも解けるようになります。
a៷˖-4a៷˖ꪱ+4a៷=n+1☆の時には
f(n)=an+bと置いて
f(n+2)-4f(n+1)+4f(n)=n+1★式から
a=1,b=3と求まるので
☆-★から
同様の流れで、2ⁿ⁻¹(2n-5)+(n+3)になります。
貫太郎先生の解法説明のお蔭で、かなり悪戦苦闘して解法の流れを掴むことが出来ました。
頭の中に問題を解く手順が明確になっており、正しく計算して答えを導く難しさを、痛感しました。
ありがとうございました。
色々別解がありそう。下記③を導いた後は、2^(n+1)で割るよりも先に定数項1の消去を優先。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
a[1]=1, a[2]=3 …①； a[n+2] - 4a[n+1] + 4a[n] = 1...②
（n=1, 2, ...）。
②⇔ a[n+2] - (2+2)a[n+1] + (2^2)a[n] = 1
⇔ a[n+2] - 2a[n+1] = 2(a[n+1] - 2a[n]) + 1
⇔ a[n+2] - 2a[n+1] + 1 = 2(a[n+1] - 2a[n] + 1)。
よって①とから、{a[n+1] - 2a[n] + 1}は 初項2 公比2 の等比数列。
∴ a[n+1] - 2a[n] +1 = 2^n …③。
③⇔ (a[n+1] - 1) - 2(a[n] - 1) = 2^n
⇔ (a[n+1] - 1)/2^(n+1) - (a[n] - 1)/2^n = 1/2。
よって①とから、{(a[n] - 1)/2^n}は 初項0 公差1/2 の等差数列。
∴ (a[n] - 1)/2^n = (1/2)(n - 1)。
∴ a[n] = {2^(n-1)} (n - 1) + 1
。■
---------------------------------------------------
※補足）例えば③の後は、2^nを無視したときの特性方程式を利用しているだけです。（答案には記載不要)
a[n+1] - 2a[n] +1 = 2^n …③
t - 2t +1 = 0 …④
③から④を辺々差し引いて
(a[n+1] - t) - 2(a[n] - t) = 2^n
であり、④ ⇔ t=1。
丸暗記せずに、考え方を根本から理解するって大事ですね😆
シンプルに2^n+1で割ればよかったんですね(涙)やられた...
大抵の漸化式の一般項を求める問題はいかに等差、等比、公差の形にもっていくかという問題が8割な気がします
基本問題ですね。a n+2 -2a n+1 +1 =2(a n+1 -2an +1)に変形ができるかだけです。
右辺の=1の処理は、a[n+2]-4a[n+1]-4a[n]=1と、それをずらした4a[n+1]-4a[n]-4a[n-1]=1の辺々ひいてA[n]=a[n]-a[n-1]とおいてA[n+2]-4A[n+1]-4A[n]=0としましたが（ただしA[n]のnは2からスタート）、動画のやり方だと一発で等比数列の漸化式まで持っていけますね。
そこからA[n+1]-2A[n]=2(A[n]-2A[n-1])=・・・=2^(n-2)*(A[3]-2A[2])=2^(n-1)
※以下、2^(n-1)で割るという方法を思い出せなかったのでごり押し
「A[n]+(2^nを含む式)」の等比数列になると予想して、なにかしらの関数f(n)がA[n+1]-f(n+1)*2^(n+1)=2(A[n]-f(n)*2^n)をみたすとして2^nの係数を比較→f(n+1)-f(n)=1/4より、f(n)=n/4とすればよい。整理してA[n+1]-(n+1)*2^(n-1)=2(A[n]-n*2^(n-2))
→A[n]-n*2^(n-2)=2{A[n-1]-(n-1)*2^(n-3)}=・・・=2^(n-2)(A[2]-2*2^0)=0（計算させといて結局0かよw！）
→a[n]=a[n-1]+n*2^(n-2)
a[n]=a[1]+{k=2からnまでのk*2^(k-2)の和}←地味にめんどくさいw
1:18
a(n+1)=3(a(n))²+2a(n),a(1)=1なら
a(n)=1/3 (-1 + 2² ⷫ )とできましたが、
a(n+1)=3(a(n))²+2a(n)+n²+nは絶対無理です。
.....
理想形の定数項を忘れてつじつまが合わず、計算ミスを探すのに時間がかかった。
n=1,2で検算して合ってたから自信をもって動画を見て答え合わせをした
数列の問題は検算できるのがいいですね。
塾講のバイト始めようかと思っているので参考にします
an関連の式で等比作ってから定数とかnの式とか入れたほうが計算ミス防げるからスコ
めちゃわかる解説❣ ２＾k+1
で両辺割り算のところがポイントですね。
等比型の特殊なものとして扱う。
a[n+2]-4a[n+1]+4[n]=1 ..(1)
が理想的な形に式変形できるものとして、下記の漸化式を考える。
a[n+2]-pa[n+1]-q=r(a[n+1]-pa[n]-q)
これを展開して
a[n+2]-(p+r)a[n+1]+pra[n]=q-rq
これと (1) との係数比較で
p+r=pr=4, q-rq=1
これらを連立方程式として解いて
p=2, q=-1, r=2
したがって (1) は
a[n+2]-2a[n+1]+1=2(a[n+1]-2a[n]+1)
と変形できる。
a[2]=3, a[1]=1 より、数列{a[n+1]-2a[n]+1} は初項が 2、公比が 2 の等比数列と考えられるから
a[n+1]-2a[n]+1=2^n
これから
a[n+2]-2a[n+1]+1=2^(n+1)
を得、元の式と辺々引いて、
(a[n+2]-a[n+1])-2(a[n+1]-a[n])=2^n
ここで b[n]=a[n+1]-a[n] とすると
b[n+1]-2b[n]=2^n
辺々 2^n で割ると
(b[n+1]/(2^n))-(b[n]/(2^(n-1)))=1 ..(2)
c[n]=b[n]/(2^(n-1)) と置き換えると (2) は
c[n+1]-c[n]=1
c[1]=b[1]/(2^0)=2 より、数列 {C[n]} は初項が 2、公差が 1 の等差数列であり、その一般項は
c[n]=2+(n-1)=n+1
これから
b[n]=(n+1)×(2^(n-1))
{b[n]} の一般項を使って {a[n]} の一般項を求めると、n≧2 のときに
a[n]=a[1]+Σ(k=1, n-1)(b[k])
b[k]=k×(2^(k-1))+2^(k-1) であり、Σ記号内部を２つに分けて計算すると、
Σ(k=1, n-1)(k×(2^(k-1)))
=1×1+2×2+3×(2^2)+...+(n-1)×(2^(n-2))
全体を S とし、2S を考えて項をずらして辺々引くことで
-S=1+2+2^2+2^3+...2^(n-2)-(n-1)×2^(n-1)
1+2+2^2+2^3+...2^(n-2)=-1+2^(n-1) であるから
S=1+(n-2)×2^(n-1)
また、
Σ(k=1, n-1)(2^(k-1))=-1+2^(n-1)
であるから、
a[n]=1+1+(n-2)×2^(n-1)-1+2^(n-1)=1+(n-1)×2^(n-1)
これは n=1 のときにも成り立つから、すべての自然数 n について
a[n]=1+(n-1)×2^(n-1)
おはようございます。初コメです。
等比数列の和の計算、この方法は初めて見ました。等比によっては確かに計算ミスの心配が少ないですね！
この動画で数列がある程度理解できたような気になりました！
後半の、ゴールが見えてきた辺りからの気分の高まりは堪りませんね。
右辺が0じゃないとやっぱ慣れない
基本の確認ってにおいがプンプンしますね。
兵庫県立大学は2004年生まれの大学で、元々は
神戸商科大学、姫路工業大学、兵庫県立看護大学
の３つだったみたいですね。そのせいか、公立校
としては国内最大級の規模、日本有数の歴史がある
学校のようですね。
つまり、今の高一と同い年なんですね。
（引用元:Wikipedia）
へー！ 驚きです。
誰かしら貫太郎オリジナルの適当数列の一般項を求めた猛者がいないだろうかとコメント欄を全て見てみたが居なかった。期待しすぎたか。
漸化式の問題は解き方がひとつでないので、（どれだけ数をこなしたかという、）経験が問われますね。
階差のとこで公式に頼って案の定ミス…
ちゃんと計算しないと。
等比数列の公式って使いづらいですよね。等比級数の計算なら項数のnが消えるので便利だけど，項数が有限の場合だとかえって間違えそうになります。
特にこういう階差数列の階差の式に等比数列が登場する場合，下手に公式使わない方がいいと私も思います。
あと，最初のγについてっは，この問題の場合，敢えて恒等式作らなくてもあっさり1って分かってしまいますね😀
覚えるメリットとしては、数列の極限を少しだけ
早く求められることかな？大差ないけど。
@@江戸川こなん-g2y それくらいしかメリットを感じませんね😀
２回めです👦。👍️してます。
もう一度、用語から再確認しました。著書の内容を理解するためにも、中学数学を中心に、５教科に取り組んでます⤴️。
こんばんは！
最近漸化式とあまり戯れていなかったので、鈍っていました。
しっかり復習しておきます！
定数項はオマケにすぎない
=0と同じように考えてみるのが大事
その理想形を作るポイントを見つけられるようになるまで何問解かなきゃいけないんだよ（笑）
まぁ、ただ、この問題の場合、最初の式が重解になるということで、2が絡んだ数列になる…ということで、それで方針が立ちやすい問題なのかなと。
いつもの3項間漸化式に階差数列が混じっただけなのに難しかったです。解答見て理解しました。
高校の時は、意味も分からずに特性方程式使ってました。
漸化式って種類によっての解法知らなくても、よくよく考えれば、なんか見えてくるんですよ。
分かる方います？
n=6まで計算して、 Am=(m-1)・2^(m-1)-1
上記、訂正。-1 →+1すみません。
予想以上に俺の知りたいΣの導出とか内容が盛りだくさんで嬉しいわw
相変わらず今日も高評価だなw
最初にbₙ=aₙ - 1とおくと、定数項が消えて、
後半の等比数列の和が出てこなくなるので計算が少し楽でした。
(与式)⇔a[n+2]ー２a[n+1]＝２(a[n+1]ー２a[n])+１
と変形する。
a[2]ー２a[1]＝１ であるから、
...(計算中略)...
a[n+1]ー２a[n]＋１＝2^n
上式の両辺を2^n ＋１で割って
{a[n+1]}/{2^(n+1)}ー{a[n]}/{2^n}＝(1/2)ー{2^(n+1)}
ここで、z[n]＝a[n]/2^n とおくと
z[1]＝1/2 より、n≧2のとき
z[n]＝z[1]＋Σ[1→n-1]{1/2+(1/2)^(n-1)}
...(計算中略)...
z[n]＝1/2{nー1＋(1/2)^(n-2)
これは代入するとn＝1でも成立しているとわかる
よって、a[n]＝(nー1)×2^(n-1)＋1
最後のＳｎの求め方 公式丸暗記ではカオス状態になりそう 貫さんが口酸っぱくいつも言われてるように 公式を誘導できる力が備わってれば動画のように楽にもとめていけることを実感しました！
右辺の4を左辺に組み込んでbn=an-1と置くと計算が簡単でした。
おはようございます。散歩中にグラジオラスの花🌸が、綺麗に咲いていました。立葵同様に、縦に伸びて花が咲いていました。家庭菜園の胡瓜も、天に向かってすくすくと伸びていました。私も数学を勉強して、真っ直ぐに伸びて行きたいです。さぁ、数学の勉強です。
なぜガンマを足すのか教えてください
定数があるからです。
=定数 の時は今回のような等比数列を作ることを意識してみます。ありがとうございます！
一つ上の漸化式を新たに作って、与えられた漸化式を引くやり方でやったら計算量エゲツなくて泣いた。
私の答案のPDFでの解法で行けば、隣接4項間斉次漸化式 a_1=1, a_2=3, a_3=9, a_{n+3}-5a_{n+2}+8a_{n+1}-4a_n=0 を解くと言うことになると思いますが、この4項間漸化式の特性方程式は t^3-5t^2+8t-4=0 であり、その解は t=1(単解) または t=2 (2重解) となるので、一般解を a_n=α・1^n+β・2^n+γ・n・2^n=α+β・2^n+γ・n・2^n （2が2重解のため、「次数上げ」が1回発生するので、n・2^n という項が出てきます。）とおき、n=1,2,3 を代入して未定係数 α,β,γ を定めれば求まりますね。
簡単なのに、度々計算間違えて、中々数が合わなかった。
いきなり、a[n+1]－2a[n]+1＝2^nまで持っていってるクセに、そこから何度か計算間違えた❗アホか（笑）。
動画の中のテキトーに作った問題もやってみたが断念❗
a[n]+1/3でまとめられそうだったので、ひょっとして？と思ったが無理だったわ。
係数比較って超ベンリだよね〜
計算ミス祭り
２＾n+1でした。失礼しました。