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Satz von Bayes - Baumdiagramm invertieren - A posteriori Wahrscheinlichkeiten - Wissen
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- Опубліковано 13 кві 2017
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Manche statistischen Fragestellungen sind so formuliert, dass du sie a priori (lat.: im Vorhinein) nicht oder nur schätzungsweise beantworten kannst. Das Ziel des Satzes von Bayes ist es, die gegebenen Informationen zum Sachverhalt zu nutzen, um an die a posteriori Wahrscheinlichkeiten zur korrekten Beantwortung der Fragestel-lung zu gelangen. Man erhält die a posteriori Wahrscheinlichkeiten zu einer Prob-lemstellung, indem man die Wahrscheinlichkeit des entsprechenden Pfades durch die totale Wahrscheinlichkeit des Hauptphänomens teilt:
Ein Produzent von Glühbirnen produziert 30 % der Birnen in Halle A und den Rest in Halle B. Insgesamt werden 96 % funktionierende Glühbirnen ausgeliefert, wobei die Produktionshalle A auf eine Quote an funktionierenden Endprodukten von 90 % kommt. Heute entnimmt der Chef zufällig eine Glühbirne aus dem Lager für Fertig-erzeugnisse. Es stellt sich heraus, dass diese defekt ist. Mit welcher Wahrscheinlich-keit kommt sie aus Halle A?
A = Produktionshalle A; F = Birne funktionstüchtig; P(A)=0,3; P(F)=0,96
Die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(F) nennt man ‚totale Wahrscheinlichkeiten‘.
Trainer: „Hier ist 0,75 die a posteriori Wahrscheinlichkeit für Glühbirne aus Halle A, wenn ich weiß, dass die Glühbirne defekt ist. Die Wahrscheinlichkeiten, die man den Ergebnissen am Anfang zuordnet nennt man a priori-Wahrscheinlichkeiten.“
1. Von einem Schwangerschaftstest weiß man aufgrund statistischer Daten, dass damit 95% der Schwangeren und 90% der Nichtschwangeren richtig angezeigt wer-den. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Frau ab 30 schwanger ist, beträgt p = 0,08. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass eine als ‚nicht schwanger‘ ge-testete Frau auch wirklich nicht schwanger ist.
2. Zwei Personen schreiben ihre Ergebnisse für Zufallsversuche auf. Die erste Per-son wirft sechsmal eine Münze und notiert wie häufig ‚Kopf‘ realisiert wird. Die an-dere Person würfelt mit einem fairen Würfel und notiert die Augenzahlen. Beide führen die Versuche dreimal durch. Hinterher findet jemand einen Zettel. Ist es wahrscheinlicher, dass dieser zum Münz- oder zum Würfelexperiment gehört?
3. Dein Vater fährt an einem Arbeitstag in der Woche mit dem Auto zur Arbeit. An allen anderen Tagen nimmt er die Bahn. Wenn er die Bahn nimmt, kommt er in 80% der Fälle pünktlich an. Durchschnittlich erreicht er zu 72% pünktlich das Büro. Heute ist er pünktlich zur Arbeit erschienen. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass er mit der Bahn unterwegs war.
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Ich war immer ziemlich gut in Mathe (Leistungskurs und später Vordiplom), aber die Wahrscheinlichkeitsrechnung war immer ein bisschen mein Problemfeld. Dank solcher Videos verbessert sich das deutlich! Danke dafür!
Sehr gut erklärt!
Hallo! Vielen Dank für das tolle Video! Eine kurze Frage: Mir fällt es leider schwer aus der Fragestellung zu erkennen, wie man darauf kommt was in der Frage die Bedingung und was die eigentliche Frage ist, also ob man P(A/D) oder P(D/A) findet. Gibt es hierbei einen "Trick"? Besten Dank und Gruß
Ich denke das so: Was ist die wesentliche Eigenschaft? Dass die Birne kaputt ist. Du betrachtest erst mal nur kaputte Birnen. Dass sie aus Halle A kommt, ist zwar letztlich die interessierende Eigenschaft, aber sie ist "sekundär" gegenüber dem Umstand: Das Ding muss kaputt sein. Ich betrachte "als erstes" also nicht die Halle A. Sondern "als erstes" das Kriterium "kaputt". Als zweites dann erst, woher kommt das verdammte Teil?
Hallo, jetzt hab ich das auch verstanden.
Eine Frage noch: Hätte man nach dem ersten Baumdiagramm eigentlich nicht auch eine Vierfeldertafel machen können, um sich das Invertieren zu ersparen?
Vielen Dank für das Video.
mega gut erklärt, ich werde es weiter empfehlen👍🏽
Wow, ich war überrascht, dass die kaputte Birne - warum sagst du "Bürne", kommst du aus Köln? - zu 75% aus Halle A kommt. Ich hätte intuitiv deutlich weniger erwartet, weil A ja nur 30% aller Birnen produziert! 70% kommen aus Halle B. Tatsächlich muss aber die "Perfektion" in Halle B sehr hoch liegen, um die mäßigen 90% aus A noch auf insgesamt 96% zu heben. In B ist nur sehr selten eine kaputte Birne zu finden, unter 70 Birnen gerade mal eine. Während A unter 30 Birnen glatt 3 kaputte hat. Macht absolut Sinn.
Ich würde Halle A schließen. Oder einer Prüfung unterziehen.
hätte ich dich damals mal am LES in Mathe gehabt :D... ein Träumchen. Gutes Video und LG!
es hat geholfen
Perfekt :)
StrandMathe 👍
Tolles Video, geht aber auch deutlich schneller. Satz von Bayes hat die Formel P(A/Fquer)=(P(Fquer * P(A))/P(Fquer)
in dem Beispiel: [(0,1)*(0,3)]/(0,04) = 0,75!
Also geht deutlich schneller, ohne die Schnittmengen zu berechnen. Das meinte ich :-)
Hätte man nicht von Anfang an das invertierte (2.) Baumdiagramm nutzen können?
wow richtig toll erklärt toll gemacht vielen dank !
Top Danke dir !
Müsste 0.9 nicht schon p(F|A) sein? Laut diesem Baumdiagramm ist es doch die p(A|F) oder sehe ich das falsch? Denn p(F) wäre doch eigl logischerweise auf alle Glühbirnen bezogen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Glühbirne funktioniert (also 96%).
Hä? Steht doch da auch: P Index A (F) = 0,9. Und P Index A (F) ist ja nur eine andere Schreibweise von p (F/A).
@@henribaumgart7976 Achso, das wusste ich nicht.
@@henribaumgart7976 Das geht auch freundlicher