✓ Спидран: Красивая олимпиадная планиметрия за 5 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин
Вставка
- Опубліковано 30 вер 2024
- Дан треугольник ABC, на сторонах AB и BC вне этого треугольника построены правильные треугольники ABN и BCM. Точки Q, P, E - середины отрезков AB, BC и MN соответственно. Найти площадь треугольника EQP, если AC = 8.
Осторожно, спойлер! Если вы хотели, но ещё не успели посмотреть одиннадцатое занятие курса trushinbv.ru/olymp по подготовке к Перечневым олимпиадам по математике, не смотрите это видео!
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/eg...
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/eg... - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fi...
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lo...
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/co...
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал:
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trus...
Регулярная помощь (UA-cam): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/bori...
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donational...
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_tru...
Facebook: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
UA-cam: / trushinbv
"А как я должен был это решить? Как до этого можно додуматься?" - это цитата, которую говорили 90% людей, вышедших с олимпиады, притом предмет олимпиады не важен вообще
есть подсказка в самой задаче - ответ зависит только от длины основания АС, а значит В мы можем выбрать произвольным образом - в частности так, чтобы АВС был правильным, тогда Е = В и QPE тоже должен быть правильным, вне зависимости от выбора В. Осталось только этот факт доказать :)
@@88coolv Думал аналогично, только я сделал треугольник не правильным, а вырожденным с угломВ = 180град. Ну, а дальше примитивно. Чтобы быть совсем чётким, можно показать производной, что площадь не меняется при уменьшении углаВ
Дело было в середине 80-х. Районная олимпиада. Сдаю работу и спрашиваю учительницу:
-- Скажите, я верно решал вот эту задачу?
Она смотрит на решение и отвечает:
-- Ты доказал необходимое, но не доказал достаточное.
-- А как я мог доказать, если "необходимое и достаточное" мы не проходили?
-- Ну вам же должны были рассказывать на факультативе по математике!
-- Вот интересно, я думал на олимпиаде требуются умения решать сложные задачи на основе школьной программы, а оказалось, что нужен не ум, а знания за пределами программы...
Есть еще другая ситуация: ты знаешь, каков будет ответ на вопрос/задачу, а вот как его получить....
(с) Перельман. Гипотеза Пуанкаре 😅
"Ну я просто захотел, чтобы это было средней линий какого-то треугольника" - красиво сказано
Чаще всего именно так и начинаются (происходят) размышления при решении математических задач (да и большинства задач из других интеллектуальных сфер деятельности). А уже апосля, ретроспективно можно выстроить (и выстраивается) красивое теоретическое объяснение, как это мы додумались до всего этого по каким-то логическим шагам. Тогда стороннему челу кажется всё это магией и недостижимой для себя вершиной.
Борис просто сказал правду - и это правильно, и это хорошо.
когда подумал про введение угла альфа и тебе говорят: ну, если по-тупому решать😂😭
Борис, ну ты молодчага! Мне 50+. Смотрю твои видео уже просто так, мозг почесать.
Красиво и просто, когда умеешь думать
99% задач повышенной сложности решаются построением правильного треугольника. Только надо догадаться где его строить ))
не, там еще дофига вариантов описать окружность вокруг четырехугольника )) и опереть какие-нибудь углы на равные дуги ))))
@@chedakin А как же описать окружность около треугольника, продлить до пересечения, считать углы, ничего не получить
ключ к решению - захотеть, чтобы что-то было чем-то)
Ну далеко не 99
Лайк, если вы давно кончили школу и институт, а здесь просто ради удовольствия)
БВ, вы прямо таки показали класс. А еще говорите, что не очень в элементарной геометрии.
Жду от вас больше роликов по планиметрии. Например, про использовании поворота в задачах и других движений или про преобразования плоскости. А то уже весь плэйлист по планиметрии до дыр засмотрел.
Странные вопросы люди задают. Как до этого можно додуматься? Не получается до этого, додумайся до другого.
Сначала начал решать и вижу что условие бредовое, а у вас в видео в условии ошибка, я думаю чего она не решается, правильно условие дальше появляется ну и в описании к видео
Увидеть что сторона равна 4 сразу, зная что Q P средние точки. А вот потом доказать что треугольник EQP равносторонний, это задача на теорему Наполеона.
по-моему это неочевидно, даже зная направление
Где здесь ты Напалеона используешь? Там теорема же вообще про центры треугольников
Я розвʼязував складнішим шляхом: шукав висоту з E на AC як півсуму висот з N i M. Рахував через синуси кутів A і A+60, B i B+60. Але теж дуже швидко знайшов, хоч і довше ))
Кстати эта задача с белорусской олимпиады
Самое тупое решение - принять начальный треугольник равносторонним, тогда сразу понятно, что в задаче тоже равносторонний.
Через поворот векторочков очевидно, что это правильный треугольник и задача решена. Но за доп построение респект.
Красивая задача! Очень олимпиадная. Нужно догадаться, что искомый ∆ равносторонний, а потом доказывать как теорему - размотать клубок обратно - от ответа к условию.
добрый вечер, Борис Викторович после 25 задачи из огэ по математике можно ли переходить на ваш олимпиадный курс там ботать олимпиадную геометрию?
Можно )
Хммм. А я решил таким путём: в условии не говорится о том, какой это треугольник, значит подходит для любого. Тогда возьмём равносторонний, чтобы середина нового отрезка совпала с вершиной исходного треугольника. Всё.
Я не решил это росатом 10 класс
Красивое решение!!!
Как бы думал физик.
Решаем для двух вырожденных "треугольников" , когда ABC лежат на одной линии и когда A совпадает с B. Ну и до кучи еще для случая правильного ABC. там тривиальные решения
Интерполируем на все остальные случаи!
Вообще не понял почему красные линии равны, если оба треугольника разные. Вообще не понял.
Можно взять середины NB и MB, и провести 4 средних линии. Будут равные углы из параллельности и равные стороны по половине из равносторонних треугольников. Будет 3 равных треугольника, и соответственно треугольник EPQ равносторонний.
я не тупой, но таки не понял, какие именно средние линии вы провели и о каких углах и сторонах речь
1. D и F - середины NB и MB.
2. Среднии линии, DE,DQ,EF,FP.
3. из (2) => DE || BF, EF || DB, DEFB - параллелограмм.
4. из (2) => DBQ и FBP - равностороннние.
5. Пусть угол ABC = t. Из (4), угол DBF = 360 - 60 - 60 - t = 240 - t.
6. Из (3) угол DEB = углу EFB = 180 - угол DBF = 180 - (240 - t) = t - 60;
7. => QDE = EFP = QBP => QE = EP =PQ
👏👏👏👏👏
Получить ответ легко, раз ничего не известно про исходный треугольник, то можно рассмотреть удобный вариант, что он равносторонний. А вот показать, что в общем случае то же самое - это уже сложнее.
Самый тупой метод на олимпиаде
Я решил топорно, через координаты, и у меня всё срослось.
1) Пусть координаты точек такие A(0; 0), B(u: v), C(b; 0)
2) Вектор QN перпендикулярен вектору AE и имеет модуль, равный (√3/2)|AB| отсюда находим координаты точки N ((1/2)(u - v√3); (1/2)(y + u√3)). Из аналогичных соображений ищем координаты точки M((1/2)(u + b + v√3); (1/2)(v + b√3 - u√3))
3) Ищем координаты точки E по формуле координат середины отрезка. Нам нужна ордината точки E. Она равна v/2 + b√3/4.
4) Высота треугольника EQP равна разности ординаты точки E и ординаты любой точки отрезка QP, т.е. эта высота равна просто b√3/4. Нам дано, что b = 8. Отсюда h = 2√3.
5) Отсюда искомая площадь равна (1/2)*4*2√3 = 4√3
Почему же топорно? Наоборот, красиво, логично, быстро и без лишней геометрии👍😎
@@z4777 Ну просто векторно-координатный метод может разрулить любую задачу. Поэтому и топорно)
@@Alexander-- топор в руках профессионала весьма неплох: кто каким инструментом умеет, тем и работает 😎 Но вектора тоже вещь не абсолютно универсальная: наверняка с ними иногда можно забуриться в жёсткие системы уравнений при намного более простых и очевидных альтернативах.
Почему NQ перпендикулярен в АЕ? Кажись опечатка
Повернём треугольник QBP вокруг точки Q на 60 градусов. BQ перейдет в TQ (T - середина BN), BP - в TE, а значит QP - в QE. То есть QP=QE и образуют угол 60 градусов, а треугольник QPE - правильный. Уложился в 2 минуты. ;-)
Почему не обьясниди почему BP перейдет в ТЕ? Ну конечно же можно это легко доказать но все же
Опыт не пропьешь. Если средней линии нет, её надо придумать.
так чему равна площадь искомого тр-ка???
задача не решена
двойка
правильный ответ: S = 4√3
душнила
Вот пример настоящего обучения математике!!!
Браво, Мастер! Необыкновенное наслаждение наблюдать за столь виртуозной игрой разума. Я тоже из категории Ваших подписчиков "50+", и всю жизнь считал себя человеком неглупым, и неплохо образованным. Но вот такие взлёты и озарения мне, увы, недоступны. Блестяще! Спасибо.
нетривиальная олимпиадная идея
Чётко!
Если ABC и DEF правильные треугольники, лежащие в одной плоскости, то треугольник, вершинами которого являются середины отрезков AD, BE, CF, является правильным. Доказывать можно по-разному. Если нет ограничений в средствах, то достаточно простое (в смысле инструментальное, механическое, не требующее прозрения в виде дополнительного построения) доказательство возможно через комплексные числа. Это же доказательство можно свести к равенству треугольников.
Здравствуйте, БВ! Очень тревожит следущий вопрос: Необходимо ли в идеале овладевать координатно-векторным методом в стереометрии ЕГЭ? Он совершенно меня не привлекает, учитель тупо даёт формулы и говорит считать. Могу ли я обойтись без всего этого абсурда?
Есть еще один способ понять правильность PQE, через векторную формулу длины средней линии четырехугольника + два поворота, для проверки равенства углов между векторами
На самом деле данная задача очень хорошо решается с помощью метода комплексных координат, потому что поворот на 60° просто равносилен умножению вектора на комплексный кубический корень из единицы
У меня есть 2 очень красивые и практические планиметрические задачи ( 1 Переворот ковра 2 Центрирование теодолита - обе очень просто формулируются). До сих пор нигде не смог найти решение. Не могли бы вы помочь?
думаю до идеи можно было догадаться, что тебя просят найти площадь треугольника, дав на всю задачу только одно число. это вроде как возможно только в правильном треугольнике
Помогите решить систему:
sina1-sina2=k
∆a=x
Все числа положительны..
Я хочу так же! 💥
В росатоме такая попалась
Почему QE 4. в каком треугольнике она средняя линия
Уважуха Борис!
Помогите решить систему:
sina1-sina2=k
∆a=x
Все числа положительны..
Систему относительно чего нужно решить?
@@ecstasy9405 от х.
Можно понять, что задача видимо имеет фиксированный ответ рри любых треугольниках АВС, поэтому стоит поверить, что угол В=60 градусов, и всё становится тривиально
Молодец!
Я получил ответ иначе. но используя читерство)))
решил посмотреть, что будет в предельных случаях: 1) если угол ABC -> 0; 2) если угол ABC -> 180 (и в обоих случаях AB=BC)
и если в первом случае я так и не смог ничего вразумительного построить (отрезок NM и точка E на нём стремятся к QP, но правильный треугольник там совсем не очевиден и не интуитивен), то во втором получается очень красивые "горы" из трёх правильных треугольников со сторонами AC/2.
А чит в допущении, что если нас просят найти площадь треугольника, значит (скорее всего) она всегда при любых построениях одинакова, и раз я нашёл её для одного случая, то она такова для всех. 😛
PS. в Corel моделировал первый случай, с очень узким и высоким ABC - и искомый треугольник хоть и маленьких, но таки правильный, и точка таки E равноудалена от Q и P
в комментариях по аналогии сделали ещё один похожий вариант: угол ABC=60, тогда всё ещё проще (E=B) ))))
4th
Красотища!
Первый!
Ну интересно вот бывают ли ситуации когда есть только 1 сторона и возможно ли что посчитать если треугольник не равностороний
Третий?
Второй!
сытый и довольный. и не фига не понял )
Ой, это такая красота! Это мой дед виноват. Когда я была маленькая и играла в его дворе с зубчатыми колёсами (дед кузнецом был),он сказал мне красивейшее слово ЭВОЛЬВЕНТА. Эти приключения с математикой до сих пор занимают! 😍🙋♀️
Просто мозг взорвали, причем так красиво и изящно и за какие-то пять минут...заново влюбляете в математику просто))
Ничего не понятно, Но очень иетеремно
Если есть два подобных треугольника на плоскости, то если провести отрезки соединяющие соответствующие вершины, и посмотреть на треугольник, образованный серединами этих отрезков, то он будет подобен исходным. Применяя это к данной задаче становиться очевидно, что PQE равносторонний.
Не уверен, что можно применять подобных факт на олимпудках, но знать полезно.
@@plolr8609 точно можно, в чем проблема то? Теорему Пифагора же можно. А это тоже доказанный факт.
Причем не супермалотзвестный.
Если есть сомнения и много времени его можно доказать в сноске.
вооружен - и очень опасен! )
Трушин так красиво решил за 5 минут)
Спасибо
Я обычно подобные задачи решаю так: (не знаю, на сколько это законно)
Если условие задачи подразумевает произвольный треугольник, то данные условия и ответ подходят для любого треугольника. А значит я выберу самый удобный для меня случай.
Я беру исходный треугольник как равносторонний, тогда точка Е просто совпадет с точкой В.
хорошо...
Круто!
Если хотите быть за нацистов езжайте на свою Украину
Не смотрю вас принципиально
Привет, сейчас временно учусь в Польше и тут у них говорят ,что 0 принадлежит к натуральным может знаешь почему? Если знаешь объясни пожалуйста)
Вопрос договорённости.
Давний спор математиков. И да, и нет... Ноль - вообще, число особое, уникальное
Добрый день Борис и сообщество. Понимаю, что ролик был не об этом, но он самый свежий, поэтому просто оставлю это здесь, может кто-то подскажет. Элементарная задачка: 2^x = 3^(x+3). Чтобы ее решить, прологарифмируем по основания 10. Получим хlg2 = (x+3)lg3 и в итоге x=3lg3/lg(2/3). Вроде бы все просто. Но можно было взять логарифм не по основанию 10, а, например натуральный. И, сделав все тоже самое, получить x=3ln3/ln(2/3). А можно было взять логарифм вообще по любому основанию, какое в голову взбредет и получить тоже самое.... И что в итоге получается, что ln3/ln(2/3) = lg3/lg(2/3) и в целом это отношение одно и тоже, независимо от основания логарифма? Где я туплю и что я сделал не так? )))))
так все правильно, просто отношение логарифов не зависит от основания) log_x(a)/log_x(b) зависит только от а и b, но не от х.
Посмотри ролик про основные свойства логарифма
@@trushinbv а я ж смотрел. Но так и не сообразил днем, что это в чистом виде тр, что называют "формула перехода к новому основанию". А вот сейчас комментарии прочитал и как понял :)))) ночью думается приятнее :)
Красивое
А если это равнобедренный треугольник, откуда инфа что это правильный
из аналогичного построения в другую сторону
Не,плохо обьяснис.
Интуитивно и так понятно было, что все стороны по 4. Но как доказать? :)
Кстати, задача формально не решена. Найдены стороны (каждая 4). А площадь не найдена. Понятно, что олимпийцам это просто, но формальности есть формальности.
При упругом ударе нейтрона о неподвижное ядро некоторого атома нейтрон
двигался после удара в направлении, перпендикулярном первоначальному. В результате
кинетическая энергия нейтрона уменьшилась в 2 раза. Найдите, под каким углом α к первоначальному направлению движения нейтрона будет двигаться ядро.
Решите плз
ну можно было проще сделать ) нам сказано что построено 2 прав треуг вне ABC а именно ABN BCM но не сказано как именно а значит могли построить так что MN прроходит через точку B в итоге получаем равнобедренную трапецию где угл NBA , ABC , CBM в сумме 180 т.к развернутый NBA=CBM=60 ну и понятно что ABC тоже 60 и получаем что
BQP равносторон треуг ну и сторона 4 т.к QP средняя линия ABC а там уже площадь находим
Но если угол В не 60, то они не будут лежать на одной прямой. Вы просто частный случай рассмотрели. За это никаких баллов не поставят (
Решите пожалуйста задачу:
Представьте, что вы в темном лесу ровно в 1км от бесконечной прямой дороги, но вы не знаете куда идти. Чтобы понять, что вы на дороге, надо наступить на нее. Какое минимальное расстояние необходимо пройти в наихудшем случае, чтобы найти дорогу?
9.62059 км!
А где вы взяли задачу из росатома этого года, если его писали только люди из лицеев 1511 и 1523?
Кстати там еще есть 2 вариант решения, где угол NBM
А откуда инфа,что росатом писали только эти ученики?) Просто это я скинул эту задачу,т.к был на росатоме)
@@jemappellemontagne5698 а ты из 1511 или 1523?
@@boriscokolov409 я вообще не из Москвы,а с другого города)
pochemu QE 4
Средняя линия
@@trushinbv v kakom treugolnike
Очевидно, что он должен быть равносторонний, ибо по одной стороне площадь не посчитать, и значит, что от углов первоначального треугольника не зависит. А вот дальше я бы не увидел, что нужно вот так достроить....... Красиво и элегантно. Зачёт.