Video utilissimo, perfetto per un bel ripasso. Comunque non so se è presente sul canale ma mi piacerebbe sapere come risolvere il problema dell'oscillatore armonico, in particolare per gli autovalori... mi sto incasinando con la parte immaginaria e non so perché in degli appunti che sto seguendo, questa non si considera proprio, quando nella formula reale compare il seno che moltiplica i...
Ciao Buongiorno sto ripassando autovalori e autovettori per automatica. Il professore ci ha detto che esistono dei trucchetti per calcolare gli autovalori senza arrivare per forza al polinomio caratteristico se le matrici sono diagonali o triangolari oppure ci ha detto che magari possiamo dedurre almeno un autovalore se nella matrice troviamo una colonna con tutti 0 ed un solo valore. Non riesco a trovare in giro questi trucchetti e tu sei il primo che ha nominato quello della triangolare. Sapresti aiutarmi? Grazie mille ho visto tutto il video ed è stato molto utile per un ripasso veloce
Ciao, si ce ne sono molti anche se io non mi sono mai messo specificamente a studiarli, quindi ti presento alcune cose che conosco. Se la matrice è triangolare o diagonale allora questi sono gli elementi diagonali. Se la matrice è diagonalizzabile allora gli autovalori coincidono con gli autovalori della matrice diagonale. Qualunque coppia di matrici simili hanno gli stessi autovalori, quindi se sai che P=Q^-1 * L * Q, allora gli autovalori di P sono uguali a quelli di Q, può essere interessante quindi se conosci gli autovalori di L. Le matrici 2x2 sono facili perchè gli autovalori sono tali che se sommati ti danno la traccia e se moltiplicati di danno il determinante, quindi puoi risolvere un sistemino 2x2 spesso facile. Se la matrice è singolare, quindi hai almeno due colonne linearmente dipendenti, allora almeno un autovalore è zero. Comunque mi hai incuriosito e prossimamente guarderò qualcosa di più specifico, visto che bene o male mi servono queste cose, quindi in caso aggiungo risposte a questo commento.
@@MathoneVideo Grazie mille per questi tuoi suggerimenti anche se alcuni non sono immediati e necessiterebbero di esempi (l'esame di algebra lineare è ormai abbastanza lontano purtroppo). Comunque già sono qualcosa questi suggerimenti e grazie ancora per la risposta
1) È corretto dire che un'equazione differenziale è integrabile se e solo se la sua varietà è foliabile (cioè ammette una foliazione)? 2) se è vero che ogni equazione ammette soluzioni, dire che un sistema è integrabile si riferisce al metodo per trovarle? Cioè INTEGRABILE significa metodo per quadrature?
1) No, perchè per esempio ogni varietà compatta ammette campi vettoriali completi e le loro orbite foliano la varietà...non è però detto che il campo (e quindi il sistema di equazioni differenziali che definisce) sia integrabile. 2) L'integrabilità è "solo" un risultato di esistenza, non necessariamente fornisce una procedura operativa per ricavarle. Integrabile significa che a meno di invertire funzioni, integrarne altre (quadrature) si può esprimere la soluzione tramite funzioni elementari.
@@MathoneVideo molto chiaro. Però è difficile pensare che un sistema di equazioni non abbia soluzioni ( probabilmente allargando un po' lo spazio si riescono a trovare) Le serie per esempio generalizzano le funzioni Si può dire che ogni equazione differenziale ammette sempre una serie come soluzione? Se sì , questo ha a che fare con l'integrabilità? Secondo me no , se è vero che con integrabilità si intende che la soluzione è espressa soltanto tramite funzioni elementari ( polinomi seni e coseni)
@@MathoneVideo Ma quindi se non è la proprietà di foliabilita' , qual è la proprietà che la varietà deve avere per poter concludere che il sistema è integrabile?
Ti consiglio di andare a leggerti qualcosa riguardo l'integrabilità dell'equazione di Riccati. Siccome non è vero che ogni sistema di equazioni differenziali ha una soluzione, in particolare non è vero che si possa esprimerlo come serie. Chiaramente se puoi scrivere una soluzione nella forma che dici allora il sistema si può dire integrabile, ma non è certo l'approccio alla base della teoria dell'integrabilità, dove non si tenta nemmeno di integrarla l'equazione/sistema di equazioni. P.S. Come "funzioni elementari" si possono anche includere integrali ellittici nella teoria dell'integrabilità
Esaustivo e chiaro, grazie!
Grazie mille per il feedback, sono contento che sia chiaro
Video utilissimo, perfetto per un bel ripasso. Comunque non so se è presente sul canale ma mi piacerebbe sapere come risolvere il problema dell'oscillatore armonico, in particolare per gli autovalori... mi sto incasinando con la parte immaginaria e non so perché in degli appunti che sto seguendo, questa non si considera proprio, quando nella formula reale compare il seno che moltiplica i...
Ma c’è una playlist su geometria e algebra lineare?
Ciao Buongiorno sto ripassando autovalori e autovettori per automatica. Il professore ci ha detto che esistono dei trucchetti per calcolare gli autovalori senza arrivare per forza al polinomio caratteristico se le matrici sono diagonali o triangolari oppure ci ha detto che magari possiamo dedurre almeno un autovalore se nella matrice troviamo una colonna con tutti 0 ed un solo valore. Non riesco a trovare in giro questi trucchetti e tu sei il primo che ha nominato quello della triangolare. Sapresti aiutarmi? Grazie mille ho visto tutto il video ed è stato molto utile per un ripasso veloce
Ciao, si ce ne sono molti anche se io non mi sono mai messo specificamente a studiarli, quindi ti presento alcune cose che conosco. Se la matrice è triangolare o diagonale allora questi sono gli elementi diagonali. Se la matrice è diagonalizzabile allora gli autovalori coincidono con gli autovalori della matrice diagonale. Qualunque coppia di matrici simili hanno gli stessi autovalori, quindi se sai che P=Q^-1 * L * Q, allora gli autovalori di P sono uguali a quelli di Q, può essere interessante quindi se conosci gli autovalori di L. Le matrici 2x2 sono facili perchè gli autovalori sono tali che se sommati ti danno la traccia e se moltiplicati di danno il determinante, quindi puoi risolvere un sistemino 2x2 spesso facile. Se la matrice è singolare, quindi hai almeno due colonne linearmente dipendenti, allora almeno un autovalore è zero. Comunque mi hai incuriosito e prossimamente guarderò qualcosa di più specifico, visto che bene o male mi servono queste cose, quindi in caso aggiungo risposte a questo commento.
@@MathoneVideo Grazie mille per questi tuoi suggerimenti anche se alcuni non sono immediati e necessiterebbero di esempi (l'esame di algebra lineare è ormai abbastanza lontano purtroppo). Comunque già sono qualcosa questi suggerimenti e grazie ancora per la risposta
1) È corretto dire che un'equazione differenziale è integrabile se e solo se la sua varietà è foliabile (cioè ammette una foliazione)?
2) se è vero che ogni equazione ammette soluzioni, dire che un sistema è integrabile si riferisce al metodo per trovarle? Cioè INTEGRABILE significa metodo per quadrature?
1) No, perchè per esempio ogni varietà compatta ammette campi vettoriali completi e le loro orbite foliano la varietà...non è però detto che il campo (e quindi il sistema di equazioni differenziali che definisce) sia integrabile.
2) L'integrabilità è "solo" un risultato di esistenza, non necessariamente fornisce una procedura operativa per ricavarle. Integrabile significa che a meno di invertire funzioni, integrarne altre (quadrature) si può esprimere la soluzione tramite funzioni elementari.
@@MathoneVideo molto chiaro.
Però è difficile pensare che un sistema di equazioni non abbia soluzioni ( probabilmente allargando un po' lo spazio si riescono a trovare)
Le serie per esempio generalizzano le funzioni
Si può dire che ogni equazione differenziale ammette sempre una serie come soluzione?
Se sì , questo ha a che fare con l'integrabilità? Secondo me no , se è vero che con integrabilità si intende che la soluzione è espressa soltanto tramite funzioni elementari ( polinomi seni e coseni)
@@MathoneVideo
Ma quindi se non è la proprietà di foliabilita' , qual è la proprietà che la varietà deve avere per poter concludere che il sistema è integrabile?
@@MathoneVideo
Ammettere campi vettoriali completi essere foliabile?
Ti consiglio di andare a leggerti qualcosa riguardo l'integrabilità dell'equazione di Riccati. Siccome non è vero che ogni sistema di equazioni differenziali ha una soluzione, in particolare non è vero che si possa esprimerlo come serie. Chiaramente se puoi scrivere una soluzione nella forma che dici allora il sistema si può dire integrabile, ma non è certo l'approccio alla base della teoria dell'integrabilità, dove non si tenta nemmeno di integrarla l'equazione/sistema di equazioni.
P.S. Come "funzioni elementari" si possono anche includere integrali ellittici nella teoria dell'integrabilità