7:32 感觉可以用递推证明，假设a^P-a mod P = 0, 那么只需证明(a+1)^P - (a+1) mod P = 0。(a+1)^P = a^P + 1 + Σ(i=1...P-1)C(P,i)a^i，因为P是质数所以C(P,i)里P在分子上不可能被约分约掉，C(P,i)a^i就一定是P的倍数。那么左式可写成a^P + 1 + kP - (a + 1) = a^P - a + kP mod P = 0，实现了从a到a+1的递推。P如果是合数就不一定对是因为C(P,i)里的P有可能被分母约掉
有数学思维的人在现实生活中相对更不容易陷入概率误区，很多时候人们做出的错误判断和揣测也都是由于信息量不足导致的。🙏🏻李老师新年快乐！🎇🎉🧧
有数学逻辑思维的人在玩概率游戏时
就可以藉由数学计算得知能不能玩
以及最后的结果会是啥🤣🤣🤣
确实啊，最简单的三门问题就容易让人 陷入误区
@@user-un3wk6cq8u 真的 過年去親戚家賭博 都在默默地算期望值 太有利莊家的就不玩
@@chun-yunglin8956 不管期望值，我的建议是能远离赌博就远离
( ˝ᗢ̈˝ )
我非常喜欢李老师说的后面那段话，用了另一种方式教了我们一个所有网络使用者都应该清楚的道理。BTW，今天是大年初一，祝李老师新年快乐！也祝所有viewers身体健康万事如意！
「抽查的是毒品，其它的都是麵粉」
整個笑抽🤣🤣
李老師新年快樂！
應該是指買家不是警察
@@user-tr2sg4jc5p 一直都是指買家沒錯呀
罗翔老师说，把面粉当毒品卖也是贩毒
@@udchicken9198 面粉和水往静脉里推一样会死人的，同样具有社会危害性
很喜欢这期 数学与哲学的融合。 也很认同李老师的话，大多数人容易对道听途说、甚至没有根据的事情肆意发表攻击性言论。一是为了发泄生活压力，二是不用顾及后果。但是严格管制言论又会有许多负面效果。只能寄希望此类教育视频能提高人们素质不再“随地吐痰”
格局大了，通过数学定理推广到对社会现象的思考启发，李老师厉害
7:32 感觉可以用递推证明，假设a^P-a mod P = 0, 那么只需证明(a+1)^P - (a+1) mod P = 0。(a+1)^P = a^P + 1 + Σ(i=1...P-1)C(P,i)a^i，因为P是质数所以C(P,i)里P在分子上不可能被约分约掉，C(P,i)a^i就一定是P的倍数。那么左式可写成a^P + 1 + kP - (a + 1) = a^P - a + kP mod P = 0，实现了从a到a+1的递推。P如果是合数就不一定对是因为C(P,i)里的P有可能被分母约掉
可能只有李老师看得懂😄
思路是对的
我一看见这个，就马上被催眠了
@@QQLisa818 上过高中应该能看懂吧？
p取到30就已经溢出了
@4:10 筛法复杂度定义在小于N的“所有”质数。 而费马与AKS 算法好像是定义在检验小于N的“某一”数。
另外筛法复杂度不应以划倍数M=sqrt(N)为基，应该是小于M的Pi(M)为基。这里Pi函数是小于M的质数个数。
本人对以上两点有些虑疑。
如果费马法也是验证所有小于N的数，那不可能在1/10^11 秒内完成。就算每一个数验证只需一次运算，也要64-17=47 , 即10^47 秒，也就是3*10^39 年。
其实要找到小于N的所有质数，筛法是至今最好最快的方法。
以上说法有误的话，敬请指正。
最喜欢李老师，一期不落，虽然很多时候不明白说的什么，学习也是一种快乐享受
我也一样
很实用可惜今天读不下书，存起来了改天再看。谢谢老师🙏 新年快乐🍊🧧🍊
醍醐灌頂 一開始以為自己在看數學類影片 看到最後才知道是反思社會議題 最優秀是前面所提及的費馬証人和騙子居然是真相與假象的延伸
我想老師是希望人人都能驗證質數(明辨是非)
李老師最后的提炼和总结很精辟, 事实上现实中我们接收到的往往是发布者有意灌输给我们的筛选过的信息, 小到朋友之间, 大到各国执政当局, 再到国与国之间, 无论是社交媒体、朋友圈、网红带货、历史评价(比如对孔子、黄巢、李自成、海瑞、李鸿章和袁世凯等人的不同时期的不同评价等等), 再到西方所谓的民主自由价值观, 都是有发布者背后的(至少是那个时代那个属地)的政治或经济利益的出发点, 如何清醒和公正地判别、分析和收取, 是我们要思考的
我一个数学家，能给你合数蛋子吗？
我是个码农，在李老师这里学数学真快乐，10的53次方年和10的负11次方秒，这个差距也太大了，数学真奇妙。
点燃了对数论的兴趣，这集太有意思。最后拓展到社会现象，引发我们对时事的思考！
很有趣易懂引人遐想提升科普，軟體也希望有這種引人遐想的頻道，非專科自學的感悟，多看多做多思考各行各業都一樣一定會變強，但時間是很珍貴的，科普讓人及早發現興趣、擁有知識常識、甚至創造人才，軟體也有很多科普點，電腦手機或嵌入式、PS、任天堂、wii、最近元宇宙，當然硬體韌體也包含在內，這些都是工具在我們日常的概念裡，不應該讓人覺得很難摸不著邊
李老師加入越來越多的哲理，發人深省。可敬可佩。
感謝李永樂老師做這期視頻！
我想這部影片有助於協助我做密碼學的專題，除了提到質數這個概念以外，還有提到演算法的複雜度，我想這期的的方法或許可以再運用一些統計的方法去整理歸納～
另外，老師講到費馬小定理的時候讓我嚇到了，我還以為李老師連密碼學都會呢！希望李永樂老師能多做有關密碼學的東西，畢竟現在講密碼相關的亞洲人根本寥寥無幾
费马定理严格意义上只要学数论就一定会讲到，我本科学算法的时候老师也以简单的素数数论作为开头，大学里做密码学的人还是不少的
我用的大数运算库，终于了解质数检验背后的原理，非常感谢~~。更加钦佩出淤泥而不染的态度🍉🍊🍋🍌🍍
老師新年快樂！
片尾結論所作的忠告謹記在心，期許自己能客觀思考，審慎判斷，有所成長與進步！
感謝老師！大家平安吉祥！
我理解错了，我误以为李老师说，费马小定理很好证明。。。去研究了半天...
后来回来再一看，李老师说的是P=5的时候a取1234就行了，取5以上很好证明.....
最后的总结太对了。感觉现在很多网民听风就是雨，所以很多事件过几天就会翻转，然后一群人就忽左忽右的。
李老師，你好，明天農歴新一年，先預先同你拜年，恭喜發財，身體健康，萬事如意！也祝福你所有學生，粉絲學業進步，事事順利！
前两天刚刚用到了Miller-Rabin算法，今天就看到了李老师的视频。
最近正好在上number theory的课，李老师真的太厉害了，把这么复杂的概念用 抽查，切瓜的概念就讲的清清楚楚
最后的总结也是绝了
真強，非常清楚「randomized algorithm」的設計
谢谢李老师的分享，希望网路中少一些无知的判断，shao一些 断章取义。新年快乐。
我记得学概率论的时候，老师说：全班有200多名同学，我点名抽20个人，抽中你的概率是10%，一学期20节课，我抽中你不来是不是一个极小的概率？如果这个极小概率事件发生了，那我是不是可以认为你每节课都没来？当我我就被蒙住了，总觉得哪里不对，也没去想，直到毕业十年后，我一琢磨才发现她故意混淆概念了，20节课，我来不来都是独立的时间，不能因为一节课我没来你点名抽到我了，就认为我其他课也没来啊
20节课一节课没来就是20分子1，10%当中的20分子1，概率很小
当时小时候学概率的时候，老师说班上有两个同年同月同日生的人概率是很低的，不信的话我们来试一试，结果最后我还另一个人确实是同年同月同日生的，老师那个尴尬啊😂
@@xxxxchen29 這個在機率學上只要超過30人機率就有七八成了唉，其實非常容易
@@xxxxchen29 哈哈哈你的老师犯糊涂了。你们班上的同学几乎百分百概率是同一年生的（不然怎么会排到同一班上课），由此，概率事件“同年同月同日生”就坍塌成了“同月同日出生”，而只要一个课室里学生人数超过23人，那么有两人同样生日的概率将超过50%（这个也不难算）。
生日問題是經典的反直覺問題，老師不會沒聽過吧。
祝李老师虎年快乐！最后的时评让我更加觉得世界是数字组成的，人的思想就是在不断的探索发现真实的世界。
李老師新春快樂！
李老师讲过很多次和素数有关的猜想了，感觉李老师年少时一定是非常喜欢费马高斯哥德巴赫的奥数小朋友。
我沒事時，就開起這影片播放，讓人以為我真的聽得懂老師在說什麼
讲得太好了，非常有用，谢谢李老师清晰透彻地讲解和总结！
最后的总结很精辟👍！
李老师瘦了，新春快乐！
能来看像李老师这样的视频的人，往往会理性一些，所以最后那段话只是让理性的人更理性！对于那些喜欢网暴的人，这些视频他们估计也看不下去！
这是我作为一个悲观主义者的角度，看待李老师最后那段话！
这是假设检验问题，工厂进货也不会把每个货检查一遍，而是抽查一小部分，来推出产品的合格率大概在多少，来决定买不买。
每次我失眠都会点开李老师的视频
彷佛回到儿时课堂 秒睡
熟瓜对刘华强🤣🤣
老师的讲解很清晰，到位。如果技术词能加上一些英语的翻译就更棒了。
谢谢李老师，祝老师虎年快乐，幸福健康。
完全听不懂也认真都看完了 祝愿李老师新年快乐🎊🎉🎈
感谢老师的讲解 我咋感觉很好看呢 支持支持 老师春节快乐 ❤️😊
李老师春节快乐！
李老師，虎年昇豐，心寬体健🌹🌹🌹
虽然我们这里很多人都渴求知识 但也许大部分人都听得是个热闹😂，但我相信李老师一定培养出了很多国家栋梁！李老师功德无量🙏 中国🇨🇳教育之幸！
I really like and appreciate the analogy towards the end. Bravo.
太赞了，加油～
从数学知识讲到做人，对待事物的态度，受教
李老师春节愉快
老师通过一个数学知识让我明白了一个生活道理。
李老师虎年大吉大利 健康快乐🐯🌹🌹🌹
这集有意思，学到了。多谢李老师
总之好好做人别想当那个费马骗子数。只要你大学翘课，老师那节课一定会点名检查
整挺好，虽然没全懂。至今我的办法还是停留在小学课本中说的，只能被1和自身整除的数是素数
哈哈哈，我也是
算法题里边有时候会考素数的一些算法 ，不掌握自己琢磨的话，很费时间。
祝李老师新年快乐 ！
李老师，新年快乐，众所周知现在塑料污染特别严重，据说日本有些科学家研究出了一种酵素可以分解塑胶微颗粒，请问原理是什么？酵素是什么，跟细菌有什么区别？谢谢
酵素就是酶（enzyme），酶一般是通过基因表达生成的，如果有酶的话理论上可以把这一段基因移植到某个微生物上面去让微生物自发的生成酶去降解塑料。不过这个酶降解塑料估计也还是需要很多其他辅助条件的，因为塑料的键类型还是很多的，有酯、酰胺、碳碳键、醚等等，针对酯和酰胺的可能酶好处理一些，其他的会比较难。
所以全民核酸检测的复杂度是不是太高了，需要用数学的方法优化一下？
不适用，这种测试是为了检验一群物体固定（但未知）的属性符合预期或要求。核酸检测是为了要筛出带病毒者，这些人要是漏网会造成社区传播，带病毒者比列可以快速地从百万分之一变成千分之一甚至更高。
问题是一个感染者能感染好多人
有优化啊，比如检测一百万个人，可以每一千个人混在一起检测
可以这么做是因为大部分人没有感染
如果没有病毒，那就说明一千个人都没有
如果有病毒，那就这一千个人再检测一次
这样就可以从原本百万这个数量级降到千这个量级
核酸檢測分成PCR和快篩就是經過了數學優化好吧
@@user-zz5xs3nl7w 谢谢补充，我都差点忘了这个操作。确实，混检就是压缩工作量的方法之一。
李老师新年快乐🎊
最后面这段话说的真好
老师，上你的课，保会吗
我手上的藥劑記錄斷在2013年11月，其它藥劑是從私人醫療機構或其它管道流出的，按2007年的新聞案例，應該是植物人，差別在喉感神經刺激器，請通知國際医療學術單位進行動物實驗，祝大家新年快樂！
李老师，新年快乐😃
可以引入实际例子做详解，类似中国中小学中的应用题。纯理论虽然可以明白，但不用于实际应用，总是缺了什么……
最后的感悟同样可以套用在疫情政策上
李老師真的是喔，強。
李老師下次會講費馬大定理以及證明嗎？
好像已經講過
哈哈哈李老师讲得好！
也是一种独立思考能力
感悟就是应该把算法课加入高考，普及常用经典算法，让更多的人了解时空复杂度，排序，二分，dp，图…说不定可以加速人类文明进步哈哈哈
行不通，90%的人，腦子沒有處理"稍微複雜數學概念"的能力。
能把抽象數學概念講的這麼具體, 請收下我的膝蓋
今天感覺特別睏，突然真的有上課的感覺了XD
聽得懂和聽不懂的部分混合再一起，特別費神
19:19 惊醒
概率论与数理统计
謝分享，祝新年教安
我當年玩計算機的時候就發現了費馬那個，後來上網查了一下才發現有一堆反例
刘华强老师拉着李永乐老师的手说，下次买瓜你陪我去。
谢谢李老师，以后我不会挨个检查毒品了
除了卡迈克尔数，应该还有一些数，骗子的个数是相对比例较高的，k如果不够高可能也会出错
尊敬的李老師，可否請教一下光速在以每秒三十公里移動中的地球上量度仍然是光速而不是光速加地球移速？那麼地球上的光速是否比太空中的光速快？
是，因為運動中的地球，他的時間是比靜止的來得要慢，所以即使光子移動的距離相對來說比較短，但是因為地球的時間變慢了，所以光速還是一樣3*10^8m/s
参考李老师讲相对论的视频
先学学什么是参考系，什么是罗伦兹变换。可以看“眼见为实”的视频，视觉化的理解对普通人很直观。
我知道 不告诉你
不单时间上要超天文级别的时长来算 2^256 的质数，还有就是宇宙可能也装不下计算结果。
李永乐老师新年快乐
我想到一个选题，关于陷入传销，被洗脑的人的心理，是什么蒙蔽他们的心智
啥时候讲下关于沙漠化的事儿！我就不解！沙漠的沙与河沙海沙有区别吗？被沙漠地区的土壤是不是质变成沙子还是移动过来的沙掩盖了！沙漠往下钻有土壤吗？
当然有区别，好像沙漠的沙颗粒很小，河沙颗粒就比较大
这就导致沙漠里的沙子不能用来做建筑材料，建筑材料都是用河沙这种颗粒比较大的沙子
当然，如果用来造芯片，沙漠的沙子跟河沙就没什么区别了，反正都是二氧化硅，最后都还原成硅
李老师。伙食越来越好了
我一个开水果摊的，能卖你生瓜蛋子吗
李老师，除夕快乐🎆
封面真的滿好笑的
5:42 一个小小的typo，底下分段标题写成了费马 毒性 检验法
👍👍👍我们看到的一切都是他们想让我们看到的
我们看到的一切都是我们想看到的，对于我们不想看到的我们就视而不见
最后的总结，厉害了
李老师最后是不是在批新京报啊？
一看到这个就想起前几个月编程找素数，直接强行用循环测试
以前我也是直接循环测试，看了初等数论，瞬间觉得好傻
心理学也在很大程度上建立在概率统计的基础之上。
李老师，能不能用数学解释一下中国男足为啥不行？您要是解释不了，我就要去找算命先生了😬
介绍一下AKS怎么算的吧，网上都找不到现成算法。
当a为质数时，a²-a-1和a²+a+1部分为质数，
当a不为质数时，a²-a+1 和a²+a-1部分为质数
质数是现代加密体系密钥交换的基础。
希望我們能有機會破解這個基礎🙂
请问一下 费吗小定理的时间复杂度是如何计算的
整数a_i应该从2开始取，1没有必要，因为a^p-a等于0，自然也同余于0