너무 좋은 말씀이고 많은 분들이 아셨으면 좋겠네요. 비단 수학문제뿐 아니라 모든 분야의 문제에 적용될 수 있는 부분이죠. 많은 학생들이 타이트하지 않은 조건하에 문제를 푸는걸 어려워하더라구요. 문제 조건이 느슨하면, 반대로 그 조건을 만족하는 어떠한 상황에서도 동일한 답이 나온다는걸 보장해주는거라 오히려 문제풀기가 수월할 때가 있습니다. 예시로 들어주신 문제도 꼭 해석기하로 풀지 않더라도 최소한 내가 생각하기 쉬운 정삼각형, 직각이등변삼각형 등으로 보기쉽게 그려서 문제를 풀 수 있는거죠.
예를 들어 높이 6인 직각삼각형과 높이 2인 직각삼각형이 점점 줄어들다가 가운데서 만났는데 높이 6인 직각삼각형은 높이 2인 직각삼각형보다 3배는 빨리 줄어들어야 맞겠구나 그럼 전체 구간 중 높이 2인 직각삼각형은 1/4밖에 못줄어들었겠구나 생각해도 쉽게 알 수 있죠 굳이 그림을 변형하지 않아도 해석기하로도 풀 수 있고 다른 방법으로도 풀 수 있겠지만 예시에 불과한 그림에 얽메이지 않으면 더욱 손쉽게 풀 수 있다는 말씀을 하시는 것 같네요
저도 요즘 티처스 정말 재밌게 보고 있는데 영상으로 말씀해주신 부분 너무 인상적이네요. 간단한 문제지만 문제 접근 방식과 사고력에 영상 보다가 무릎을 탁 쳤습니다. 또, 마지막에 언급해주신 한 문제를 다양한 풀이 방법으로 생각해보는 것은 승제T께서도 항상 강조하시는 부분과 일치하네요. 좋은 영상 감사합니다.
혹여나 이 영상을 보고 풀이를 따라하려는 학생들이 있다면 가급적 말리고 싶습니다. 직관도 직관이지만 저 문제 하나만 가지고 얘기하기엔 다른문제에 동일하게 적용하기 어려워집니다. 무엇보다 고닥교수학으로 넘어가면 발문에 주어진 '그림과 같이' 라는 워딩을 괜히 쓰는게 아니라서요, 주어진 조건을 토대로 배운 개념을 적용해야만 풀리는 퍼즐을 출제합니다. 저도 중고딩 시절에 수교과 수학과를 지망하고 직관적 풀이에 집착아닌 집착이 있었으나 옳은 길을 걸었다고 생각되진 않네요. 물론 본인이 이 영상을 보기전에 미리 떠올렸다 하시면 모르지만..너무 매달리지 마셨으면 합니다 영상 잘 보고 있슴당~~~~
데카르트의 좌표축의 발명의 의의가 바로 이것이죠. 기하를 대수의 영역으로 가지고 온 것! 그 뒤 대수 기하학이라는 분야가 열리고, 수학 또한 획기적인 발전을 이루죠. 사실 이런 관점으로 공간 도형 문제들도 벡터로 변환해서 대수적인 풀이가 가능하구요. 그래서 미국에서는 데카르트의 업적을 기리기 위해 Cartesian coordinate이라고 부릅니다.🙂
수능강사도 저렇게 푸는거는 할 줄 압니다 다만 중학 도형에서 저렇게 풀어버리면 부연설명해줘야할게 너무도 많고(일반화, 특수한 사례, 또 그 둘의 관계, 문제의 자유도, 답의 유일확정성 등등) 중학교 기하에서는 숨어있는 도형과 보조선의 사용이 매우 적극 권장되기 때문에 중학생 레벨에서는 저것이 올바른 풀이라고 하겠습니다. 수능 강사들이 이렇게 못풀어서 이렇게 못푸는게 아닙니다. 앵간한 고등 수험생들도 원리 알고 이렇게 풀어내는 사람이 많으니까요. 다만 그게 꼼수라고 극혐하는 사람/강사의 성향도 있고, 센스와 직관적 캐치라고 적극적으로 사용하는 사람/강사의 성향도 있고, 사용하되 그 조건이나 원리, 그리고 각별히 조심해야하는 부분들 등을 매우 신중하게 고려하라는 중도적인 강사/사람의 성향도 있고 다양합니다. 어느것이 딱 정답이다라고 말하긴 어렵습니다. 게다가 지금 저 풀이를 제시해주시면서, "이런식으로도 접근할 수 있어야 한다"라고 말하시는것처럼, 대부분의 수능 강사들은 한가지 풀이만을 고집하지 않습니다. 어느정도 말할거리가 있는 문제는 3~4가지 정도로 풀어줍니다. 물론 실력있는 학생이라면 그 모든 방법을 익혀두고 다 할줄 알아야겠죠? 지금 그걸 명확히 언급하시고있습니다.
저도 정말정말 안 보이면 최후의 수단으로 시도는 해 봤습니다만... 잘 안 먹히더군요. 아무래도 고난도 도형문제는 수학1의 2단원에서 많이 나오는데 단원 특성상 삼각형의 3가지 요소를 모두 주는 경우가 많고 다만 그걸 어떻게 찾아내느냐가 관건이라 보통 내 맘대로 각이나 길이를 설정할 여유를 주지 않죠.
1. 발문에 "그림과 같이"라는 워딩이 있기 때문에 문제의 모든 조건을 만족시키면서 해당 그림이 아닌 모든 그림에 대해 선분 PQ의 길이가 일정하다는 것을 증명 해야한다는 점이 있으나 실제 어떤 도형문제들은 해당 영상처럼 좌표축 및 좌표를 활용하여 풀 수 있지요. 2. 만일, 시험장에서 도형문제에 대해 코너에 몰리면 대략적인 "측정"을 통해 찍는 방법도 있으며 문제의 선지를 활용하는 것도 유용한 방법이긴 합니다.ㅋㅋ
여러분 이 분은 카이스트 수학과 출신 프린스턴 박사 출신입니다,,, 애초에 급이 달라요,,, 범인들은 그냥 정의부터 암기하면서 기초를 잡아가는 공부법이 제일 알맞습니다,,, 방법론적 기술은 수능 수학 최소 2등급은 찍고 그 후에 배워도 늦지 않습니다,,, 천재가 아닌 사람들은 그냥 하루하루 걸어가는게 제일 빠른 길입니다,,,
저는 어렸을 때 부터 장기와 바둑을 좋아해서 배웠는데 하수일 때는 행마를 배우고 중수일 때는 형세를 배우고 형식과 틀을 벗어난 파격을 배워야 고수가 된다는데 수학의 본질이 무엇인지 가늠하기 어려우니 고수 반열에 오르기는 어렵겠네요. 스스로 식을 세우고 사회적인 현상을 분석하여 수식으로 표현하는게 참으로 어렵군요. 12 Math님 영상을 볼때마다 많은 생각이 드네요.
@@clowdan 아뇨 wlog와는 다릅니다... wlog는 말그대로 '일반성을 잃지 않'는 하에서 조건을 추가하는 걸 말하는 거고(예시: 세 실수가 있다고 하면 그 세 수를 a, b, c로 두고 a>=b>=c라는 식으로 둘수 있다), 원댓에서 말하는건 가능한 수많은 상황중 '답을 구하기 쉬운 상황' 하나에 대해서만 문제를 풀어 답을 구한다는 이야기입니다. 이 답이 다른 가능한 수많은 상황에 대해서도 같다는 것은 '문제의 답이 유일할 것이기 때문'으로 퉁치고 넘어가는거고요.
수학을 잘 못하는 학생들을 과외로 가르치고 난 뒤에 개인적으로 드는 생각은 1. PQ의 길이가 변하지 않는다는 사실을 학생들이 직관적으로 받아들이지 못할 것 같다. 2. 문제의 조건을 만족하는 그림을 새로 그리면 그 그림을 상상하는데 어려움을 느낀다. 3. 그림을 따로 그려서 문제의 조건을 만족하는 그림을 그린다고 해도 그림을 직관적으로 그리지 못해 오히려 역효과가 남. 4. 문제 풀이의 방식을 한번에 여러가지를 알려주면 너무 많은 정보가 한번에 머리속으로 들어와 학생이 수업을 힘들어할 가능성이 있다. 이정도가 듭니다. 영상의 풀이를 보면 진짜 수학에 대해 고민을 많이 하셨다는 생각이 들고 문제를 쉽게 푸는 방식에 대해 생각을 많이 하신 것 같아서 보기 좋았습니다.
BQ = a, CQ = b, PQ = x로 두면 왼쪽 삼각형 닮음 비에서 x/2 = b/(a+b) 오른쪽 삼각형 닮음 비에서 x/6 = a/(a+b) 이므로, x/2 + x/6 = 1 입니다. 따라서 x = 3/2 실제로 풀때는 BQ, CQ를 a, b로 놓을 필요도 없었고 그냥 제 풀이입니다.
이것도 좋은 풀이인게 방송 학생이 찾은 닮음만으로 이끌어냈다는 것임. 실전에서 특히 도형은 한 번 안보이면 계속 안 보일 때가 있는데, 이때 주어진 정보를 어떻게든 다 활용했다면 그걸로 답을 이끌어내는 시도를 하는 것도 한번쯤은 의미있다고 생각함. 그래도 안되면 그때 다른 방식을 찾아야지.
좋은 가르침 감사합니다. 주어진 조건에만 만족하면 된다는 사실을 중학생들이 잘 모르죠. ㅎㅎ 다만 저 강사분은 아무래도 본격적으로 좌표에 도형을 처음 넣어 해석하는 학년이 고1 2학기다 보니까, 저 학생에게는 줄 수 없는 답이어서 (유클리드)기하적 논방법으로만 설명을 한 것 같아요. 아무튼 항상 잘 보고 있습니다!
안녕하세요. 12 Math님. 저는 도덕 수업 숙제로 선플 달기를 하고 있는 중학교 2학년 학생입니다. 이 영상에서 풀이 방식을 닮음과 관련지어서만 생각했었는데 평면 좌표를 통해서도 풀 수 있다는 것이 신기했습니다. 특히 고정관념을 깨는 풀이가 좋았습니다. 앞으로도 좋은 영상 많이 부탁드립니다.
수학 박사는 다르네 확실히 문제를 봄에 있어서 자유도가 높으시네요. 저 또한 입시때 문제를 푸는 원리를 숨은 개념 찾기라고 정의 하여 개념과 문제를 연결짓고 통합하는 방식으로 공부를 했습니다만. 공간적 직관의 단계까지 이해를 소급하여 좀 더 자유도 높게 문제를 푸는 형식을 더 갈망해왔습니다. 확실히 수학 박사는 공간적 직관이 뛰어나네요.
저도 마찬가지 입니다. 우선 바로 1번이 답임을 체크부터 했을 거에요. 수능에서였다면 풀고 끝.... 하지만 모의고사나 평소 공부하는 과정이었다면.... 2보다 작은 2/3를 풀이 없이 답으로만 쓰고 넘어가면.... 실력이 늘지 않겠지요. 그래서 다음에는 두번째 방식데로... 그 다음에는 12math님의 설명에서와 같이 변화를 줘서 풀이를 했을 겁니다. 저도 비슷한 경험들이 종종 있었으니까요. 수학이 늘려면.... 계속 무엇인가를 깊게 생각할 줄 알아야만 합니다. 정석책으로 공부를 여러번 반복하다보면..... 다른 부분들인데.... 비슷한 개념이 반복될 때가 있습니다. 가장 앞이었던 집합이 가장 뒤의 확률에서 그대로 나옵니다. 물론 그게 보여야만 알아차릴 수 있지요. 그리고 중간중간 또다시 비슷하게 나옵니다. 한번 더 나올때마다 연관되었던 문제들과 개념들을 서로 연결하여 앞뒤를 왔다갔다하며 공부를 하면..... 수학이 이렇게 재미있었던가!!!! 하는 생각이 절로 듭니다. 그리고 위 영상의 네번째는 극한개념을 도입하여 각도를 좁히거나 늘이거나 길이에 변화를 줬을 때 도출되는 값들이 갖는 변화를 찾는겁니다. 그리고 더 나아가면 그것을 허수개념까지, 테일러급수까지.... 들어가서 다른 시각으로 접근하는 방법도 머릿속에 떠오를듯합니다. 생각만해도 기분좋고 행복하네요. 위대한 영감들이 이런 방식으로 나왔었습니다..... 좋은 영상 감사합니다.....
AB와 CD 모두 일정 비율로 축소시키면 PQ가 되는데 축소시킬 때 각각 곱해줄 길이의 비를 더하면 1이 되므로(BQ/BC + QC/BC = 1) 하나의 비를 t, 다른 하나의 비를 1-t라 두면 PQ = 6t = 2(1-t)이므로 t에 대해 풀면 t=1/4고 PQ=3/2가 나옴!
자유도를 생각해본다... 도형을 좌우로 층밀림으로 움직여 보고, 밑변을 늘였다 줄였다 해보고... 제약 조건 속에서 내 입맛대로 바꿔도 지장 없는 것을 찾아내는 능력, 머리속에서 도형을 움직여볼 수 있는 능력. 이런 능력자 '학생'도 있었구나. 새로운 시선을 보여주셔서 감사합니다.
이 문제를 풀지 못하는 수준의 학생들에게 영상에서의 풀이를 알려주게 되면, 학생들은 어떤 변수를 바꾸거나 어떤 변수를 바꾸어선 안되는지에 대해 먼저 생각한 뒤에 풀이에 적용하기 보단, 그런것에 개의치 않고 자기 마음대로 문제를 변형해서(심지어 평행조건도 마음대로 무시한 채로) 잘못된 풀이를 하고 답만 찾아내고서는 스스로 만족하게 되더라구요. 문제의 자유도에 대해 관심을 갖거나 어느정도 이해를 하는 수준의 학생이 중학교 닮음 수준의 숨은그림 찾기를 하지 못하는 경우는 경험상 없었던 것 같아요. 또한 수학교육적 관점에서 이 문제를 학생에게 알려줄 때는, 단순히 답을 찾아내는 방법을 알려주는 것이 아니라, 이 문제를 통해 닮음을 학습할 수 있도록 닮음의 이해를 도울 수 있는 풀이방법으로 교육하는 것이 적합하다고 생각합니다.
중학교 단계에서는 아직 해석 기하를 배우지 않아서 저 풀이를 바로 접목하지는 못하겠으나 도형문제에서 자유도를 이용하는 풀이는 생각보다 쓰임새가 많은 것 같기는 합니다 물론 수능 자체에서는 자유도를 이용한 풀이보다는 숨은 도형 찾기가 좀 더 많이 나오는 것 같고 자유도를 이용한 풀이에는 삼각함수 도형 극한에서 근사 사용 풀이가 대표적인데 사교육 카르텔 제거 일환으로 최근 수능에서 자취를 감춘 유형이 되었죠 내신에서는 문제 설계 자체를 치밀하게 하지 않는 경우가 있어서 자유도로 2초컷 나는 문제도 있더라구요
답의 존재성과 유일성
고등학교 문제 풀다 보면 얼마나 강한 조건인지 체감할 수 있죠
인생을 풀다보면 보이는 존재성과 유일성
@@qnvoalsrnr인생을 풀다보면 답이 유일한지, 아니면 존재하는지도 모르는 문제들을 만나게 되죠… 그렇다보니 흔히 어른들이 공부가 제일 쉬웠다고 하는거구요.
@@김-m1z9r 박사급 되는 사람들은 공부가 젤 쉬웠다는 사람들은 공부를 제대로 안 한 것이라는 말도 하더라구요
@@sun_216 그사람들은 공부가 인생이니까 어려운가봐요
@@sitbird 좋은 말씀이군요.. 저도 이런 사고방식으로 살고싶습니다
너무 좋은 말씀이고 많은 분들이 아셨으면 좋겠네요. 비단 수학문제뿐 아니라 모든 분야의 문제에 적용될 수 있는 부분이죠.
많은 학생들이 타이트하지 않은 조건하에 문제를 푸는걸 어려워하더라구요. 문제 조건이 느슨하면, 반대로 그 조건을 만족하는 어떠한 상황에서도 동일한 답이 나온다는걸 보장해주는거라 오히려 문제풀기가 수월할 때가 있습니다.
예시로 들어주신 문제도 꼭 해석기하로 풀지 않더라도 최소한 내가 생각하기 쉬운 정삼각형, 직각이등변삼각형 등으로 보기쉽게 그려서 문제를 풀 수 있는거죠.
문제풀때 막연하게 직관적인 생각만 했는데 문제의 자유도 라는 말로 표현하니까 정리가 되네요
맞아요 다들 본능적으로 습득하는내용일텐데 자유도라는 표현이있었네요
수학전공수업에서 자주 나오는 개념입니다. 특히 선형대수에서 자유도가 무척 중요한 개념이거든요
자유도라길래 순간 통계학의 추검정밖에 못 떠올렸는데ㅋㅋㅋ 물론 큰 틀에서 보면 비슷한 말이지만
@@twiceinfourteendays 기계전공에도 기구학에서도 자우도가 나와서 움찔.. ㅋㅋ
유튜브 진짜 어렵다... 프린스턴 수학 박사가 기초적인 도형 문제를 풀어주는 컨텐츠를 어떻게 이김 ㅋㅋㅋㅋ
이사람 프리스턴 나옴? ㄷㄷ
아이들한테 수학은 다양한 방법으로 풀어보라고 말은 하지만 실제로 다양하게 풀기위해서는 상상력이 중요하다는걸 느끼고 갑니다.
하지만 상상력 조절이 안되서 식이 이상하게 흘러가죠
@@SQA_힐러ㄹㅇㅋㅋ 잘 알지도 못하면서 상상력만 좋으면 식이 안드로메다 은하까지 감
규칙 내에서 상상력을 펼쳐야지, 수학에서 제시한 룰을 무시하면 안됨ㅋㅋㅋ
창의성은 모방에서 나오는거임 남의 생각을 많이 접하다보면
문제를 많이 풀 수록 오히려 상상력은 떨어지는😂😂 우리나라 문제집 반복훈련식 공부보단 창의 사고 토론하고 생각을 깨우치는 스타일의 수학교육 했으면 좋겠어요
머리나쁘다고 그런거 못한다는 애들은 뭐 지금도 수학 안할텐데
해석기하를 배우는 시점이 고등학교라서 막상 애들 가르치는데 적용하려니 쉽지않긴 합니다만 이런 방식으로 보여주는게 도움이 많이 될듯 합니다. 좋은영상 감사합니다.
해석기하가 아니라도 충분히 활용할 수 있죠 영상의 요점은 해석기하로 해결하라는 말은 아닌 것 같습니다
예를 들어 높이 6인 직각삼각형과 높이 2인 직각삼각형이 점점 줄어들다가 가운데서 만났는데 높이 6인 직각삼각형은 높이 2인 직각삼각형보다 3배는 빨리 줄어들어야 맞겠구나 그럼 전체 구간 중 높이 2인 직각삼각형은 1/4밖에 못줄어들었겠구나 생각해도 쉽게 알 수 있죠 굳이 그림을 변형하지 않아도 해석기하로도 풀 수 있고 다른 방법으로도 풀 수 있겠지만 예시에 불과한 그림에 얽메이지 않으면 더욱 손쉽게 풀 수 있다는 말씀을 하시는 것 같네요
저도 요즘 티처스 정말 재밌게 보고 있는데 영상으로 말씀해주신 부분 너무 인상적이네요. 간단한 문제지만 문제 접근 방식과 사고력에 영상 보다가 무릎을 탁 쳤습니다. 또, 마지막에 언급해주신 한 문제를 다양한 풀이 방법으로 생각해보는 것은 승제T께서도 항상 강조하시는 부분과 일치하네요. 좋은 영상 감사합니다.
와 도랐다 도랐어 리스펙!!!!
혹여나 이 영상을 보고 풀이를 따라하려는 학생들이 있다면 가급적 말리고 싶습니다.
직관도 직관이지만 저 문제 하나만 가지고 얘기하기엔 다른문제에 동일하게 적용하기 어려워집니다.
무엇보다 고닥교수학으로 넘어가면 발문에 주어진 '그림과 같이' 라는 워딩을 괜히 쓰는게 아니라서요,
주어진 조건을 토대로 배운 개념을 적용해야만 풀리는 퍼즐을 출제합니다.
저도 중고딩 시절에 수교과 수학과를 지망하고 직관적 풀이에 집착아닌 집착이 있었으나
옳은 길을 걸었다고 생각되진 않네요.
물론 본인이 이 영상을 보기전에 미리 떠올렸다 하시면 모르지만..너무 매달리지 마셨으면 합니다
영상 잘 보고 있슴당~~~~
사실 이건 평범한 사람들은 학부생이 되어서나 떠올릴 만한 풀이이긴 함
3:04 이게 진짜 나오다니
수능 수학은 진짜 길이 비율 맞춰야 해서 그럼
@@Laplace-e2q그래서 루트가 나오면 찍어서 못먖춤
@@Laplace-e2q 그림 비율 맞추는 것과 상관 없이 닮음비 때문에 무조건 2보다 작아야 해요. 비율 안 맞춰서 그려도 유효해요.
@@tarakkyu닮음비라는 걸 찾기도 전에 그냥 2보다 작으니 바로 1번 체크할 수 잇다는 겁니다
@@김-m1z9r 그러니까 수능 수학이 아니어서 그림 비율이 맞지 않아도 적용 가능하다는 겁니다
데카르트의 좌표축의 발명의 의의가 바로 이것이죠. 기하를 대수의 영역으로 가지고 온 것!
그 뒤 대수 기하학이라는 분야가 열리고, 수학 또한 획기적인 발전을 이루죠. 사실 이런 관점으로 공간 도형 문제들도 벡터로 변환해서 대수적인 풀이가 가능하구요.
그래서 미국에서는 데카르트의 업적을 기리기 위해 Cartesian coordinate이라고 부릅니다.🙂
오오오 역시 수학과 박사 오오오
오 조건만 남기고 그림을 완전히 새로 그리는거! 나름 수학과 졸업할때까지 꼼수랑 느낌으로 살아온 수학인생인데 이런 생각은 해본적도 누구한테 배운적도 없어요 ㅋㅋㅋ 이채널은 가끔씯 이런 놀라움을 선사해서 좋은것같습니다 특히 애들한테 가르칠때너무유용하겠네요 감사합니다
사실 그림은 이해를 돕기 위해 제시한 것이지 그림이 문제는 아니니까요
저거 비하인드가... 강사들이 이런 방법도 있다는거야 다 할 줄 알아야돼 라고 말할때마다 방송사에서 편집했다네요
와 진짜 풀이 보고 충격먹었네요 멋진 풀이 감사합니다. 영상 잘보고 갑니다!
와...... 감탄하고갑니다
일타강사들하고 수학박사님하고 사고의 틀은 완전 다르죠. 이런영상들로 학생들에게 사고의확장을 부탁드립니다~
추구하는 목적도 사고의 틀도 다르죠 물론 두사람 다 본질은 알고있습니다.
먼소리노 강사들도 다 가르쳐주는 건데
수능 강사들도 저런 식으로 답을 빠르게 구할 수 있는 방법을 터득할 수 있도록 훈련시킵니다
수학에 관심이 있으시다면 인강강사랑 별반 다를게 없겠지라고 단정하시기 전에 전공수학을 한번 공부해보시길 추천드립니다
수능강사도 저렇게 푸는거는 할 줄 압니다 다만 중학 도형에서 저렇게 풀어버리면 부연설명해줘야할게 너무도 많고(일반화, 특수한 사례, 또 그 둘의 관계, 문제의 자유도, 답의 유일확정성 등등) 중학교 기하에서는 숨어있는 도형과 보조선의 사용이 매우 적극 권장되기 때문에 중학생 레벨에서는 저것이 올바른 풀이라고 하겠습니다. 수능 강사들이 이렇게 못풀어서 이렇게 못푸는게 아닙니다. 앵간한 고등 수험생들도 원리 알고 이렇게 풀어내는 사람이 많으니까요. 다만 그게 꼼수라고 극혐하는 사람/강사의 성향도 있고, 센스와 직관적 캐치라고 적극적으로 사용하는 사람/강사의 성향도 있고, 사용하되 그 조건이나 원리, 그리고 각별히 조심해야하는 부분들 등을 매우 신중하게 고려하라는 중도적인 강사/사람의 성향도 있고 다양합니다.
어느것이 딱 정답이다라고 말하긴 어렵습니다.
게다가 지금 저 풀이를 제시해주시면서, "이런식으로도 접근할 수 있어야 한다"라고 말하시는것처럼, 대부분의 수능 강사들은 한가지 풀이만을 고집하지 않습니다. 어느정도 말할거리가 있는 문제는 3~4가지 정도로 풀어줍니다. 물론 실력있는 학생이라면 그 모든 방법을 익혀두고 다 할줄 알아야겠죠? 지금 그걸 명확히 언급하시고있습니다.
진짜 재능의 벽을 느낌
상상은 해볼수 있을것 같아요
수학을 가지고 장난을 친다는 느낌이 어떤건지 확실히 알 수 있는 영상이였습니다. 이렇게 보니 수학도 정말 재미있는 장난감 같네요~
이런 풀이가 이름이 WLOG인가 그럼 일반성을 잃지 않는다는 걸 이용한 건데 너무 특이한 풀이라고 생각할 수 있으나 이걸로 시간단축 엄청 할 수 있는 문제들 수능에 매번 1개씩은 나옴
그리고 수리논술 파트에서도 톡톡히 쓰입니다. 그냥 한 경우를 논증해놓고 일관성 잃지않는다 하고 슉 넘어가야 시간안에 다 써내죠.
그런 문제가 있긴 한데, 이 문제는 영상의 좌표 방법으로 풀면 당연히 닮음만으로 푸는 것보다 오래 걸립니다.
@@iiiguana 그래서 발상이 안 될 때 쓰는 거죠 근데 저건 이미 정형화된 유형이라 중딩들은 해설지 알고 풀긴 함
WLOG 양승진T가 정말 강조하죠
저도 정말정말 안 보이면 최후의 수단으로 시도는 해 봤습니다만... 잘 안 먹히더군요. 아무래도 고난도 도형문제는 수학1의 2단원에서 많이 나오는데 단원 특성상 삼각형의 3가지 요소를 모두 주는 경우가 많고 다만 그걸 어떻게 찾아내느냐가 관건이라 보통 내 맘대로 각이나 길이를 설정할 여유를 주지 않죠.
조건이 빡빡해서 자유도가 없죠 중난도 고난도 문제는 ㅋㅋㅋㅋ 열심히 풀기...
프로그램 없이 저건게 상상이 가능하신분 혹시 계시다면...
절대로 교수님 앞에서 하지마세요.
도망가 늦지않았어.
1.
발문에 "그림과 같이"라는 워딩이 있기 때문에 문제의 모든 조건을 만족시키면서 해당 그림이 아닌 모든 그림에 대해 선분 PQ의 길이가 일정하다는 것을 증명 해야한다는 점이 있으나 실제 어떤 도형문제들은 해당 영상처럼 좌표축 및 좌표를 활용하여 풀 수 있지요.
2.
만일, 시험장에서 도형문제에 대해 코너에 몰리면 대략적인 "측정"을 통해 찍는 방법도 있으며 문제의 선지를 활용하는 것도 유용한 방법이긴 합니다.ㅋㅋ
"그림과 같이"라는 말의 중요성을 정확하게 지적해 주셔서 편안해 졌습니다. ^^
수능 스타일로 공부했던 사람이라 답 1번이 바로 보였는데, 자유도 설명에서 뭔가 머리를 탁 하고 치는 느낌을 받았습니다. 이미 수능 공부할 나이는 지났지만 설명이 정말 재밌네요. 감사합니다.
여러분 이 분은 카이스트 수학과 출신 프린스턴 박사 출신입니다,,, 애초에 급이 달라요,,, 범인들은 그냥 정의부터 암기하면서 기초를 잡아가는 공부법이 제일 알맞습니다,,, 방법론적 기술은 수능 수학 최소 2등급은 찍고 그 후에 배워도 늦지 않습니다,,, 천재가 아닌 사람들은 그냥 하루하루 걸어가는게 제일 빠른 길입니다,,,
저는 어렸을 때 부터 장기와 바둑을 좋아해서 배웠는데
하수일 때는 행마를 배우고
중수일 때는 형세를 배우고
형식과 틀을 벗어난 파격을 배워야 고수가 된다는데
수학의 본질이 무엇인지 가늠하기 어려우니 고수 반열에 오르기는 어렵겠네요.
스스로 식을 세우고 사회적인 현상을 분석하여 수식으로 표현하는게 참으로 어렵군요.
12 Math님 영상을 볼때마다 많은 생각이 드네요.
문제 푸는 입장이 아닌 문제를 스스로 만드는 입장이군요.
3:20 슈카식 정답찾깈ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 역시 배운사람들은 달랔ㅋㅋㅋㅋ
아이들이 이렇게 풀면 너무 좋아할거 같아요
자유도, 새로운 시선, 멋집니다. 감사합니다.
와 문제를 저렇게 자유도 있게 해석해서 좌표평면에 옮겨 해석하는건 대단하네요
제가 학생때 어떻게든 쉽게풀고싶어서 하던짓인데
이렇게 생각하다보면 몇몇문제는
유니크한 답이 존재하기위해서 문제에의 조건만 만족하면 그 외조건은 아무렇게나 대입하면 답이 그냥 보이는 문제들도 간간히 있더라구요
그런데 그렇게 풀때는 약간 조심하셔야 합니다. 아무렇게나 대입해도 유일한 답이 나오는 건 맞지만, 주어진 문제 조건에 의해서 대입하려는 변수의 값도 유일하게 정해진 경우가 있거든요. 여기에는 그 '아무 값'을 대입하면 문제가 망가집니다.
이게 그 WLOG인가 그거맞죠?
@@clowdan 아뇨 wlog와는 다릅니다... wlog는 말그대로 '일반성을 잃지 않'는 하에서 조건을 추가하는 걸 말하는 거고(예시: 세 실수가 있다고 하면 그 세 수를 a, b, c로 두고 a>=b>=c라는 식으로 둘수 있다), 원댓에서 말하는건 가능한 수많은 상황중 '답을 구하기 쉬운 상황' 하나에 대해서만 문제를 풀어 답을 구한다는 이야기입니다. 이 답이 다른 가능한 수많은 상황에 대해서도 같다는 것은 '문제의 답이 유일할 것이기 때문'으로 퉁치고 넘어가는거고요.
2인 AB보다 짧은 PQ의 길이 중 2보다 작은 값은 당연 1번밖에 없으니….1번이 답 ㅋㅋㅋ
수학을 잘 못하는 학생들을 과외로 가르치고 난 뒤에 개인적으로 드는 생각은
1. PQ의 길이가 변하지 않는다는 사실을 학생들이 직관적으로 받아들이지 못할 것 같다.
2. 문제의 조건을 만족하는 그림을 새로 그리면 그 그림을 상상하는데 어려움을 느낀다.
3. 그림을 따로 그려서 문제의 조건을 만족하는 그림을 그린다고 해도 그림을 직관적으로 그리지 못해 오히려 역효과가 남.
4. 문제 풀이의 방식을 한번에 여러가지를 알려주면 너무 많은 정보가 한번에 머리속으로 들어와 학생이 수업을 힘들어할 가능성이 있다.
이정도가 듭니다.
영상의 풀이를 보면 진짜 수학에 대해 고민을 많이 하셨다는 생각이 들고 문제를 쉽게 푸는 방식에 대해 생각을 많이 하신 것 같아서 보기 좋았습니다.
답이 유일하게 존재한다는 셋업이 엄청 강력한 조건이긴 하죠. 최근 기하학 관련해서 deepmind의 alphageometry로 올림피아드 기하문제를 인공지능이 imo 출신들 보다 수월하게 푸는 논문을 발표했는데, 이것도 영상으로 한번 다뤄보시는것도 좋을것 같습니다!
BQ = a, CQ = b, PQ = x로 두면
왼쪽 삼각형 닮음 비에서 x/2 = b/(a+b)
오른쪽 삼각형 닮음 비에서 x/6 = a/(a+b) 이므로,
x/2 + x/6 = 1 입니다. 따라서 x = 3/2
실제로 풀때는 BQ, CQ를 a, b로 놓을 필요도 없었고 그냥 제 풀이입니다.
이것도 좋은 풀이인게 방송 학생이 찾은 닮음만으로 이끌어냈다는 것임. 실전에서 특히 도형은 한 번 안보이면 계속 안 보일 때가 있는데, 이때 주어진 정보를 어떻게든 다 활용했다면 그걸로 답을 이끌어내는 시도를 하는 것도 한번쯤은 의미있다고 생각함. 그래도 안되면 그때 다른 방식을 찾아야지.
확 와닿네요.
이거 진짜 중요한 얘기임. 도형 문제에 자유도에 대한 이해 없이 푸는게 대표적으로 아무렇게나 비비고 뭉개서 푸는거. 제일 안 좋은 습관임.
이야 현직 수학강사인데도 혀를 내두를 정도의 풀이입니다. 이 것이 수학인데 제가 매너리즘에 좀 빠져있지 않았나 돌아보게 되네요.
저도 한 수학 한다고 자부하고 살았는데 이 관점은 진짜 대단하다고 밖에 말이 안나오네요 ㄷㄷ
학교 다닐 때 이 영상 봤으면 ..
시간을 되돌리고 싶은 좋은 영상.
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 2보다 짧은 건 1번밖에 없는 😂😂😂😂 그러네요. 이런문제는 2초컷이네요. 오늘도 뇌에 자극 한방 잘 받고 갑니다.😊😊
배우고 갑니다^^
수능문제도 보여주시면 좋을것 같아요^^😊
캬... 2보다 작은... 진짜... 최고입니다.......
오 이 방법은 또 신박하네요. 가끔씩 저런 생각을 해봐야 겠어요 ㅎㅎ
03:20 직관에 의한 1초 풀이. 박사님 존경합니다. 왜 이런게 내 눈엔 안보이지?
이분영상 일주일에 한번은 봐줘야 삶에 인사이트가 생김
자유도라는 단어가 너무 좋네요 제시한 그림에만 얽매이는 것이 아닌 쉬운 방법으로 바꾼다면 인간이라면 더 쉽게 풀기 마련이지요 이런 관찰력을 배워갑니다
아핀변환으로 문제를 쉬워지도록 변환한다는 거군요. 발상이 자유롭다는 게 뭔지 잘 배웠습니다.
와~~~~ 가능한 다른 시각에서의 풀이방법을 통한 검산...그것의 중요성에 대한 영상. 추천하고 갑니다.
재밌네요 한 문제 가지고도 다양한 풀이가 있다는게..
저런 생각 할 애들은 이미 닮음 바로 보이고 다음 문제 출러간다,, 학생의 시간은 무한하지 않아
조건 개수를 카운팅 한다는 개념을 대략적으로라도 알아듣고, 흉내라도 내는 애들은
모의고사에서 100점 노리지 1등급 안노립니다.
그만큼 중요한 개념이고 활용하면 좋은 개념이긴 하지만 기본적인 방법으로 못푸는 학생이 이런 설명 듣고 할 수 있게 되진 않더라구요
현 수학 1등급입니다. 저런 생각도 한 번도 안 해봤습니다. 역시 박사님은 다르네요..
좋은 가르침 감사합니다. 주어진 조건에만 만족하면 된다는 사실을 중학생들이 잘 모르죠. ㅎㅎ 다만 저 강사분은 아무래도 본격적으로 좌표에 도형을 처음 넣어 해석하는 학년이 고1 2학기다 보니까, 저 학생에게는 줄 수 없는 답이어서 (유클리드)기하적 논방법으로만 설명을 한 것 같아요. 아무튼 항상 잘 보고 있습니다!
강사는 학자가 아니니 ㅎㅎ
@@sd68127 그쵸. 반대로 수학자도 교육학이나 수학교육과는 집중하는 부분이 다를 수 있겠죠.
수교과도 교육학분야 외에는 수학과 전공수업이랑 커리가 같아요
자유도 개념은 선형대수부터 다루게 되고 도형을 밀어도 본질은 같다는 개념은 위상수학에서 배우지요…
@@제이슨-c7j 그런데 아무래도 수학전공보단 듣는 학점이 적을거에요. 그래봤자 3~5과목 차이겠지만
문제 조건내에서 자유롭게 움직이면서 식새우는거..수능에서도 정말 중요하죠ㅎㅎ 좋은 영상 잘봤습니다
너무재밌닼ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 수학은 진짜 신비로운거 같아요 박사님
이번 영상 지렸다ㄷㄷ
진짜 리스펙합니다 박사님..
안녕하세요. 12 Math님. 저는 도덕 수업 숙제로 선플 달기를 하고 있는 중학교 2학년 학생입니다. 이 영상에서 풀이 방식을 닮음과 관련지어서만 생각했었는데 평면 좌표를 통해서도 풀 수 있다는 것이 신기했습니다. 특히 고정관념을 깨는 풀이가 좋았습니다. 앞으로도 좋은 영상 많이 부탁드립니다.
역시 너무 명쾌 하십니다 굿굿!!!
진짜 혁명이다. 앞으로 수학 풀 때마다 항상 고려해보면서 풀어볼게요.
진짜지린다..
감사합니다^^
역시 수학박사님 답네요
문제를 보시는 관점이 대단하시네요
수학 박사는 다르네 확실히 문제를 봄에 있어서 자유도가 높으시네요. 저 또한 입시때 문제를 푸는 원리를 숨은 개념 찾기라고 정의 하여 개념과 문제를 연결짓고 통합하는 방식으로 공부를 했습니다만. 공간적 직관의 단계까지 이해를 소급하여 좀 더 자유도 높게 문제를 푸는 형식을 더 갈망해왔습니다. 확실히 수학 박사는 공간적 직관이 뛰어나네요.
와 ㅋㅋㅋㅋㅋ 리스펙입니다
저도 마찬가지 입니다.
우선 바로 1번이 답임을 체크부터 했을 거에요. 수능에서였다면 풀고 끝....
하지만 모의고사나 평소 공부하는 과정이었다면.... 2보다 작은 2/3를 풀이 없이 답으로만 쓰고 넘어가면.... 실력이 늘지 않겠지요.
그래서 다음에는 두번째 방식데로... 그 다음에는 12math님의 설명에서와 같이 변화를 줘서 풀이를 했을 겁니다.
저도 비슷한 경험들이 종종 있었으니까요.
수학이 늘려면.... 계속 무엇인가를 깊게 생각할 줄 알아야만 합니다.
정석책으로 공부를 여러번 반복하다보면..... 다른 부분들인데.... 비슷한 개념이 반복될 때가 있습니다.
가장 앞이었던 집합이 가장 뒤의 확률에서 그대로 나옵니다. 물론 그게 보여야만 알아차릴 수 있지요.
그리고 중간중간 또다시 비슷하게 나옵니다.
한번 더 나올때마다 연관되었던 문제들과 개념들을 서로 연결하여 앞뒤를 왔다갔다하며 공부를 하면..... 수학이 이렇게 재미있었던가!!!! 하는 생각이 절로 듭니다.
그리고 위 영상의 네번째는 극한개념을 도입하여 각도를 좁히거나 늘이거나 길이에 변화를 줬을 때 도출되는 값들이 갖는 변화를 찾는겁니다.
그리고 더 나아가면 그것을 허수개념까지, 테일러급수까지.... 들어가서 다른 시각으로 접근하는 방법도 머릿속에 떠오를듯합니다.
생각만해도 기분좋고 행복하네요.
위대한 영감들이 이런 방식으로 나왔었습니다.....
좋은 영상 감사합니다.....
좋은 영상 감사합니다 생각의 폭이 넓러지는 기분이 드네요
캬.. 감탄만 나옵니다😂
수능 문제는 저런 식으로 푸는게 맞아요 수능에서 필요한 건 사고력이지 창의력이 아니기 때문이죠 물론 사교좌표계를 이용한 풀이는 선택과목 기하 벡터파트에서 쓰이기도 합니다 교과외긴 하지만...
수능 문제는 저런 식으로 푸는게 맞다는걸 왜 님이 정하죠?
@@너구리-r1u 수능은 시간제한이 있으니까요 저분이 정의한게 아니라 정론이라 그렇게 말한겁니다
@@예진-b2u 시간제한이랑 뭔상관이에요 그 정론은 누가 정했는데요?
@@너구리-r1u 우리보다 수능이란 시험을 훨씬 잘 알고 분석한 강사들이요
@@예진-b2u 그러니까 어떤 강사들이 저런식으로 얘기했는데요? 그리고 그 사람들이 그렇다고 하면 그게 수능 문제풀이의 정론이 되는거에요?
와?.. 이렇게는 처음 배워보는 것 같은데???
와 이거지… 수 학 이라는 걸 정확하게 아시는듯
저는 AB의 길이가 2이고 PQ는 이보다 작을테니 유일하게 2보다 작은 1 번이 답이라고 생각했는데… 명확한 해설 감사합니다
와... 멋지십니다 ㅎㅎ
문제하나에 저런생각이 멋있다
우와 ㅋㅋㅋ 문제의 자유도라는 생각을 한번도 해본적 없었는데 진짜 대박이다
유익한 영상 감사합니다.
와오 놀라워요!
저런 그림은 대부분 정확해서 시험장에 자를 들고가거나 아니면 필기구로 길이를 어림짐작하는 방법도 있지요... 아니면 교점을 기준으로 반원을 다시그리는 것도 하나의방법일수도...
그게 좀 좋은?방법은 아니지만 방법이라면 방법이지요 ㅋㅋㅋㅋ
길이별 샤프심 ㅋㅋㅋㅋ
캐드식 기하학ㅋㅋㅋㅋ
각도 버전으로는 시험지 모퉁이 부분을 찢어서 직각을 판별할 수도 잇죠 ㅋㅋ
@@demicynicaxx 와 진짜 옛날 기억ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
도형을 이렇게 알려주신 선생님이 계시긴햇엇는데 올만에 생각나네요
수학은 공부하면 할수록 문제를 푼다보다 문제를 움직인다,컨트롤한다 라는 느낌을 받는거같아요
쩌네요... 수학을 이렇게 창의력있게 풀어야 하는데
AB와 CD 모두 일정 비율로 축소시키면 PQ가 되는데 축소시킬 때 각각 곱해줄 길이의 비를 더하면 1이 되므로(BQ/BC + QC/BC = 1)
하나의 비를 t, 다른 하나의 비를 1-t라 두면 PQ = 6t = 2(1-t)이므로 t에 대해 풀면 t=1/4고 PQ=3/2가 나옴!
저 길이는 애초에 2보다 짧아야해서 1번 빼고 다 지워짐 ㅋㅋ
진짜 내가 중딩때 풀던 방법을.... 지금은 고딩이지만 ㅠㅠ 영상 볼때마다 발전하는 것 같습니다..
재밌게 잘봤습니다🎉
천재구만요....
첫번째설명은 와닿지않았다. 2보다작은애가 1명뿐이네? 여기서 무릎 탁치고 그냥 앞에건 잊었다 ㅠㅠ 난 여기까지인가
첫번째 설명이 핵심인데…!!
오늘 보물 채널 하나 발견하고 갑니다.
멋있어요 감사합니다
자유도를 생각해본다... 도형을 좌우로 층밀림으로 움직여 보고, 밑변을 늘였다 줄였다 해보고...
제약 조건 속에서 내 입맛대로 바꿔도 지장 없는 것을 찾아내는 능력, 머리속에서 도형을 움직여볼 수 있는 능력. 이런 능력자 '학생'도 있었구나.
새로운 시선을 보여주셔서 감사합니다.
항상 감사하고있습니다
이 문제를 풀지 못하는 수준의 학생들에게 영상에서의 풀이를 알려주게 되면, 학생들은 어떤 변수를 바꾸거나 어떤 변수를 바꾸어선 안되는지에 대해 먼저 생각한 뒤에 풀이에 적용하기 보단, 그런것에 개의치 않고 자기 마음대로 문제를 변형해서(심지어 평행조건도 마음대로 무시한 채로) 잘못된 풀이를 하고 답만 찾아내고서는 스스로 만족하게 되더라구요.
문제의 자유도에 대해 관심을 갖거나 어느정도 이해를 하는 수준의 학생이 중학교 닮음 수준의 숨은그림 찾기를 하지 못하는 경우는 경험상 없었던 것 같아요.
또한 수학교육적 관점에서 이 문제를 학생에게 알려줄 때는, 단순히 답을 찾아내는 방법을 알려주는 것이 아니라, 이 문제를 통해 닮음을 학습할 수 있도록 닮음의 이해를 도울 수 있는 풀이방법으로 교육하는 것이 적합하다고 생각합니다.
이거 정말 중요함. 각을 0도로 잡으면? 길이를 무한대로 잡으면? 이런 생각해보면 의외로 답이 툭 튀어나올때가 있어요.
가끔씩 수능문제 보면 ~~를 만족하는 방정식 이런거 나올때 간단하게 만족하는 방정식 아무거나 놓고 풀어도 됐던 문제가 몇몇 존재했던걸로 기억합니다. 그렇게 풀면 짜릿했죠 ㅋㅋㅋ
저도 눈에 보이는 문제가 아니고서야 자유도 먼저 생각하는데 신기하네요
중학교 단계에서는 아직 해석 기하를 배우지 않아서 저 풀이를 바로 접목하지는 못하겠으나
도형문제에서 자유도를 이용하는 풀이는 생각보다 쓰임새가 많은 것 같기는 합니다
물론 수능 자체에서는 자유도를 이용한 풀이보다는 숨은 도형 찾기가 좀 더 많이 나오는 것 같고
자유도를 이용한 풀이에는 삼각함수 도형 극한에서 근사 사용 풀이가 대표적인데 사교육 카르텔 제거 일환으로 최근 수능에서 자취를 감춘 유형이 되었죠
내신에서는 문제 설계 자체를 치밀하게 하지 않는 경우가 있어서 자유도로 2초컷 나는 문제도 있더라구요
이 문제를 보자마자 위와같은
생각을 한다!!
이것이 과연 훈련으로 가능한 영역인가를
심각하게 고민해봐야한다!!
나만 그래 나만!!