Derivadas parciales con incognitas, un ejemplo

[@claudiapellet8185]

Está mal resuelto

[@pabloborsoi]

Claudia, como estas? Esta es la resolución, correlo en código latex y fijate: Se nos da la función f(x, y) = \sqrt{a x^2 + y^2} + b x , y debemos hallar los valores de a, b \in \mathbb{R} que satisfacen las siguientes condiciones:
1. f(-1, 1) = -2
2. \frac{\partial f}{\partial x}(0, 3) = 5
Procederé a resolver este problema.
Paso 1: Evaluar f(-1, 1)
Sustituyendo en la función:
f(-1, 1) = \sqrt{a(-1)^2 + 1^2} + b(-1)
f(-1, 1) = \sqrt{a + 1} - b
De la condición f(-1, 1) = -2 , tenemos:
\[
\sqrt{a + 1} - b = -2 \tag{1}
\]
Paso 2: Derivar parcialmente f(x, y) con respecto a x
La derivada parcial de f(x, y) = \sqrt{a x^2 + y^2} + b x respecto a x es:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \sqrt{a x^2 + y^2}
ight) + \frac{\partial}{\partial x}(b x)
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{a x^2 + y^2}} \cdot 2ax + b
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{a x}{\sqrt{a x^2 + y^2}} + b
Paso 3: Evaluar \frac{\partial f}{\partial x}(0, 3)
Sustituyendo x = 0 y y = 3 en la derivada parcial:
\frac{\partial f}{\partial x}(0, 3) = \frac{a(0)}{\sqrt{a(0)^2 + 3^2}} + b
\frac{\partial f}{\partial x}(0, 3) = b
De la condición \frac{\partial f}{\partial x}(0, 3) = 5 , obtenemos:
\[
b = 5 \tag{2}
\]
Paso 4: Sustituir b = 5 en la ecuación (1)
De la ecuación (1):
\sqrt{a + 1} - b = -2
Sustituyendo b = 5:
\sqrt{a + 1} - 5 = -2
\sqrt{a + 1} = 3
Elevando al cuadrado:
a + 1 = 9
\[
a = 8 \tag{3}
\]
Respuesta final:
Los valores son:
a = 8, \, b = 5