강의 잘 들었습니다. 이해가 자 되네요. 설명 참 잘하셔요^^ 그런데 혹시, 둘 이상의 양수에서도 성립하나요?? ex) a+b+c/3 >= (abc)의 세제곱근, a+b+c+d/4 >= (abcd)의 네제곱근 만약 둘 이상의 모든 양수에서 다 성립한다면, "둘 이상의 모든 양수에서 다 성립한다."를 증명할 수도 있나요?
기하평균이 산술평균보다 항상 같거나 작다는 사실은 이해가 돼요. 그런데 그렇다고해서 기하평균이 산술평균의 최솟값이라는것은 어떻게 증명할수 있나요?? 즉, 기하평균이 산술평균보다 항상 작은것은 맞지만 그것이 산술평균의 최솟값이라는 보장이 있냐는거에요. (물론 있을것이고, 그 증명하는 방법이 궁금해서 물어보는겁니다)
양수 x 와 y 의 산술평균이 기하평균보다 크거나 같다는 x, y 값에 관계없이 항상 성립하는 절대부등식입니다. 단, 두 평균이 같아질 때가 생기는데 x=y 일 때이죠. 따라서 양수 x, y 에 대하여 (x+y)/2 는 x=y 일 때 가장 작은 값 루트(xy) 를 갖는 다는 뜻이 됩니다. 솔직하게 말씀드리면 궁금하신 점이 무엇인지 잘 모르겠습니다. 산술평균의 최솟값이 기하평균이라는 보장이 있냐라는 말씀은 더 작은 값을 가질수도 있다는 뜻인가요? 아니면 어떤 경우에는 최소값이 기히평균보다 더 큰 값을 가질수도 있다는 뜻인가요?
@@SAJD 이해한것 같아요. 그러니까 a+b의 최솟값을 알수있는건, 문제에서 ab의 값이 상수로 정해져 있는 경우이기 때문에 그런거죠? 만약 ab의 값이 따로 상수로 정해져 있지 않다면, a+b의 최솟값은 0.000000000...001 + 0.000000..001 이런식으로 끝도 없이 작을테니까요. 제가 제대로 이해한게 맞나요?
@@BJ-xb5dr 산술기하평균의 관계는 단순히 두 양수 x, y 에 대해서 x+y 의 최솟값을 구할 때 사용하는 것이 아닙니다. 말씀하신 것처럼 이런 경우라면 최솟값을 찾을 수 없겠죠. 한없이 0에 가까워지는 값이 계속 존재할 것이기 때문입니다. 하지만 x, y 가 양수이고 xy=2 를 만족시키는 상황에서 x+y 의 최솟값을 찾으라는 문제가 나온다면 산술기하평균의 관계를 사용할 수 있게 됩니다. 이런 경우에는 x=y=루트(2) 일 때가 최솟값이 된다는 것이지요 그래서 곱이 일정할 때 합의 최솟값, 혹은 합이 일정할 떄 곱의 최댓값을 구할 때 산술기하평균의 관계가 이용된다고 보시면 됩니다.
안녕하세요. 이 영상 덕분으로 잊고 있던 산술기하평균 개념에 대해서 다시 빠르게 익힐 수 있었습니다 :) 하나 여쭈어볼 게 있습니다. a와 b가 양수라는 전체 a와 b의 범위에서 a=b일 때 a+b의 최솟값을 알 수 있다는 것이죠? 그렇다면 마지막 예시인 x제곱+1에서 최솟값은 2라고 계산이 됩니다. 하지만 x제곱+1이란 그래프는 일사분면에서 x=0일 때를 제외하고 y값이 1부터 우상향하게 그려지는데 2보다 더 작은 값이 있다는 것을 확인할 수 있습니다. a+b의 최솟값은 a=b일 때라서 산술기하평균을 사용하면 최솟값이 2가 나오는데 그래프에서는 2보다 더 작은 값이 존재함을 확인할 수 있습니다. 제가 산술기하평균의 개념을 아직 제대로 이해하지 못한 건지 계산을 잘못한 건지 여기에서 막혀서 무엇이 잘못되었는지 질문드립니다. 답변 주시면 감사하겠습니다 :)
y=(x^2+1)/2 의 그래프와 y=x 의 그래프를 그려 보시면, 곡선이 직선보다 위쪽에 놓이는 것을 볼 수 있습니다. 또한 x=1 에서 직선이 곡선에 접하게 됩니다. 즉, x=1 에서 두 함수의 함숫값이 같아집니다. 즉, x=1 일 때 등호가 성립한다는 것을 볼 수 있습니다. ---------------- 일반적으로 두 양 수 a, b 에 대해서 a+b 의 최솟값은 a=b 일 때다 라는 것은 납득하기 어렵습니다. a=b=0.1 인 경우보다는 a=0.01, b=0.001 이 더 작기 때문입니다. 게다가 얼마든지 더 작은 값들을 찾아낼 수 있습니다. a+b 의 최솟값이 a=b 일 때라는 것은 ab=일정 할 때를 얘기합니다. a>0, b>0, ab=4 일 때 a+b 의 최솟값은 a=b=2 일 때 4가 됩니다. 혹은 x>0 일 때 x+(9/x) 의 최솟값은 x=3 일 때 6이 됩니다.
이분왜안뜸?? ㄹㅇ 존좋
정승제 쌤 강의를 봐도 이해가 잘 안됐는데 대단하시네요
와진짜 학원에서 개념 설명몇번은 해줬는데 못알아들었는데 이거하나로이해됨 ㄷㄷ 존경
이해안되고 복잡할때 이거 모르는 주제별로 보면 확실히 전후다름;;사랑해요
선생님 감사합니다 앞으로 2년간 제 성적을 책임져 주세요
선행 중이라 공식을 마구잡이로 외우기 보다는 그 공식을 유도한 원리를 익히는 게 중요하다고 생각해 개념은 꼭 수악중독님 영상을 보고 있어요!! 강의가 빠르지 않아서 이해하기 쉽거든요 ㅎㅎ 항상 감사드립니다
학창시절에 산술기하평균을 왜 쓰는지 몰랐었는데. 이제야 이해가 되는군요 ㅠㅠ 쉽고 친절한 설명 정말 감사합니다.
항상 포기하고싶다가도 선생님 강의보면 이해하고 다시 일어나게 됩니다.
정말로 감사합니다 !!!
혹시 선생님 실강도 하시나요???
아니오 유투브만 합니다.
진짜 최고의 강의..
이런 영상이 무료라니 진짜 감사하네요.. 도움 많이 됐습니다.
선생님은 제 구원자이십니다 열심히 공부할게요 너무 감사합니다ㅠㅠㅠ모르는부분만 찾아볼수 있어 너무 유익하고 시간절약되고 좋습니다 응원합니다 감사합니다!!
저는 한국에서 공부하지 않지만 궁금한 것뿐입니다. 우리 나라, 모로코와 한국 사이에 같은 교훈이 있는지, 그래서 같은 교훈을 주셔서 감사합니다
너무 설명 좋아요 감사해요ㅠㅠ 채널 영원히 가주세요ㅠㅠㅠ
진짜 이렇게 이해하기 쉬울수가 없다, 한번만 안아봐도 될까요
선생님 너무 감사합니다 세상 너무 쉽게 알려주셔서 이해가 한 번에 됐네요.
강의 잘 들었습니다. 이해가 자 되네요. 설명 참 잘하셔요^^ 그런데 혹시, 둘 이상의 양수에서도 성립하나요??
ex) a+b+c/3 >= (abc)의 세제곱근, a+b+c+d/4 >= (abcd)의 네제곱근
만약 둘 이상의 모든 양수에서 다 성립한다면, "둘 이상의 모든 양수에서 다 성립한다."를 증명할 수도 있나요?
네, 성립합니다. 고등학교 교육과정에서는 다루지는 않습니다.
증명이 궁금하시면 구글에 Arithmetic Mean-Geometric Mean Inequality 로 검색해 보시면 많은 문서들을 보실 수 있습니다.
@@SAJD 아하~ 감사합니다^~^
선생님..정말 감사해요..학원에서 이해가 안됐었는데 이 영상 보고 바로 이해가 됐어요 정말 감사합니다 ㅠㅠ 예전에도 쌤 영상을 봤었나봐요 구독이 눌려져있네요! 자주자주 선생님 영상으로 공부할게요! 감사해요!
와…선생님 너무 감사드립니다… 산술-기하 평균과 관련된 문제나 내용만 나오면 허덕이기 바빴는데 너무 이해가 다 됐어요!!ㅜㅜㅜ 진짜 보는내내 소름돋았습니다…
이해하기 쉽게 잘가르치시네요
재미있게 잘 들었습니다
듣고 한번에 이해됐어요! 감사합니다!
정말 감사합니다. 언제나 잘 보고 있어요!
이렇게 좋은 수업을 이제야 찾다니 ㅜㅜㅜ 정말 감사합니다
감사합니다 ㅠㅠ 아예 감도 못잡았는데 바로 이해됐어요 ㅠㅠ
기하평균이 산술평균보다 항상 같거나 작다는 사실은 이해가 돼요. 그런데 그렇다고해서 기하평균이 산술평균의 최솟값이라는것은 어떻게 증명할수 있나요?? 즉, 기하평균이 산술평균보다 항상 작은것은 맞지만 그것이 산술평균의 최솟값이라는 보장이 있냐는거에요. (물론 있을것이고, 그 증명하는 방법이 궁금해서 물어보는겁니다)
양수 x 와 y 의 산술평균이 기하평균보다 크거나 같다는 x, y 값에 관계없이 항상 성립하는 절대부등식입니다.
단, 두 평균이 같아질 때가 생기는데 x=y 일 때이죠.
따라서 양수 x, y 에 대하여 (x+y)/2 는 x=y 일 때 가장 작은 값 루트(xy) 를 갖는 다는 뜻이 됩니다.
솔직하게 말씀드리면 궁금하신 점이 무엇인지 잘 모르겠습니다.
산술평균의 최솟값이 기하평균이라는 보장이 있냐라는 말씀은 더 작은 값을 가질수도 있다는 뜻인가요? 아니면 어떤 경우에는 최소값이 기히평균보다 더 큰 값을 가질수도 있다는 뜻인가요?
@@SAJD 이해한것 같아요. 그러니까 a+b의 최솟값을 알수있는건, 문제에서 ab의 값이 상수로 정해져 있는 경우이기 때문에 그런거죠? 만약 ab의 값이 따로 상수로 정해져 있지 않다면, a+b의 최솟값은 0.000000000...001 + 0.000000..001 이런식으로 끝도 없이 작을테니까요. 제가 제대로 이해한게 맞나요?
@@BJ-xb5dr 산술기하평균의 관계는 단순히 두 양수 x, y 에 대해서 x+y 의 최솟값을 구할 때 사용하는 것이 아닙니다. 말씀하신 것처럼 이런 경우라면 최솟값을 찾을 수 없겠죠. 한없이 0에 가까워지는 값이 계속 존재할 것이기 때문입니다.
하지만 x, y 가 양수이고 xy=2 를 만족시키는 상황에서 x+y 의 최솟값을 찾으라는 문제가 나온다면 산술기하평균의 관계를 사용할 수 있게 됩니다. 이런 경우에는 x=y=루트(2) 일 때가 최솟값이 된다는 것이지요
그래서 곱이 일정할 때 합의 최솟값, 혹은 합이 일정할 떄 곱의 최댓값을 구할 때 산술기하평균의 관계가 이용된다고 보시면 됩니다.
@@SAJD 감사합니다. 앞으로도 모르는거 있음 많이 물어보겠슴다 👍👍
어우 질문을 보니깐 더 이해가 안가넹...그냥 단순히 등호가 성립해야만 최솟값을 가지고 아니면 그 등호가 성립하지않으면 항상 크다는 절대 부등식만 얻으면 되는거 아니에요??
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학교에서 수업을 못들어서 찾아왔는데 앞으로 2년 반 동안만 더 찾아오겠습니다.
안녕하세요. 이 영상 덕분으로 잊고 있던 산술기하평균 개념에 대해서 다시 빠르게 익힐 수 있었습니다 :)
하나 여쭈어볼 게 있습니다.
a와 b가 양수라는 전체 a와 b의 범위에서 a=b일 때 a+b의 최솟값을 알 수 있다는 것이죠?
그렇다면 마지막 예시인 x제곱+1에서 최솟값은 2라고 계산이 됩니다. 하지만 x제곱+1이란 그래프는 일사분면에서 x=0일 때를 제외하고 y값이 1부터 우상향하게 그려지는데 2보다 더 작은 값이 있다는 것을 확인할 수 있습니다.
a+b의 최솟값은 a=b일 때라서 산술기하평균을 사용하면 최솟값이 2가 나오는데 그래프에서는 2보다 더 작은 값이 존재함을 확인할 수 있습니다.
제가 산술기하평균의 개념을 아직 제대로 이해하지 못한 건지 계산을 잘못한 건지 여기에서 막혀서 무엇이 잘못되었는지 질문드립니다. 답변 주시면 감사하겠습니다 :)
y=(x^2+1)/2 의 그래프와 y=x 의 그래프를 그려 보시면, 곡선이 직선보다 위쪽에 놓이는 것을 볼 수 있습니다.
또한 x=1 에서 직선이 곡선에 접하게 됩니다. 즉, x=1 에서 두 함수의 함숫값이 같아집니다.
즉, x=1 일 때 등호가 성립한다는 것을 볼 수 있습니다.
----------------
일반적으로 두 양 수 a, b 에 대해서 a+b 의 최솟값은 a=b 일 때다 라는 것은 납득하기 어렵습니다.
a=b=0.1 인 경우보다는 a=0.01, b=0.001 이 더 작기 때문입니다. 게다가 얼마든지 더 작은 값들을 찾아낼 수 있습니다.
a+b 의 최솟값이 a=b 일 때라는 것은 ab=일정 할 때를 얘기합니다.
a>0, b>0, ab=4 일 때 a+b 의 최솟값은 a=b=2 일 때 4가 됩니다.
혹은 x>0 일 때 x+(9/x) 의 최솟값은 x=3 일 때 6이 됩니다.
수2 다시돌리는중에 이부분만 막혀서 애먹고 있었는데 잘배우고갑니다
좋은 강의 감사합니다.
천재이신듯..와..
왜 산술평균과 기하평균을 이용해 최댓값, 최솟값을 구하나요? 최댓값, 최솟값을 알면 문제 풀기가 수월한가요?
네, 산술 기하 평균을 사용해야 하는 문제가 꼭 등장을 합니다.
넘 넘 감사합니다~
아 ㅜㅜ진짜 고맙습니당 💜
사랑합니다
산술평균과 기하평균의 부등식이 (단, a와b는 양수)라는 조건이 있다지만 절대부등식이라고 할 수 있나요?
절대부등식이 아니라고 생각하신다면 부등식이 성립하지 않는 경우를 찾으셨나요?
아녕 그건 아니구 제가 공부하는 책에서는 산술평균 기하평균의 부등식이 절대부등식이라고 언급을 안 해서요 확인차 물어봤어여
그건 그 책을 쓴 저자에게 문의를 하셔야 할 것 같습니다.
내신 서술형 할때는 단 등호는 ~~ 일때 성립을 반드시 써야 하나요?
어려운 일 아니니까 써주는게 좋겠죠?
선생님 등호가 성립할 조건이 x=1/x인 이유가 뭔가요? 제 머리로는 아무리 생각해도 저게 계산을 하지 않고서는 어떻게 저런 식이 나왔는지 이해가 안가요 ㅠㅠ
그걸 영상에서 설명드렸습나다만…
앗 그런가요 다시한번 꼼꼼히 들어보겠습니다..!!
와 너무 이해 잘 돼요
선생님 질문이 있는데요, 산술평균이 기하평균보다 크거나 같다는게 성립한다는건 알겠는데요, 왜 하필 산술평균의 최솟값이 기하평균이고, 기하평균의 최댓값이 산술평균인가요? 제말은 기하평균의 최댓값은 산술평균보다 더 작은 수 일 수도 있지 않나요?
그래서 산술평균 >= 기하평균입니다만..
@@SAJD 제 말은 문제에서 x + 1/x 의 최솟값을 구하라라는 문제가 있습니다.
질문1. 여기서 최솟값을 구하라는건 기하평균을 구하라는건데 왜 최솟값이 기하평균인가요?
질문2. 최댓값은 구할 수 없을까요?
왜 최솟값이 기하평균인지는 영상에서 증명까지 해드렸습니다.
문제에서 x 가 양수라는 조건이 붙었겠죠? 그렇다면 x는 한 없이 큰 값을 가질수도 있다는 뜻입니다. 최대값을 구할 수는 없습니다.
이분을 ebs로!!
감사합니다.~
하지만 ebs 가 그런 모험을 할 이유가 없습니다. ㅋㅋ
그에게 주어지는 전설의 목걸이..
사랑해요
설명 더럽게 쉽게 해주네👍🏻
@@SAJD 센스쟁잌ㅋㅋㅋㅋ
덕분에 잘 알고 갑니다~
a>0이아닌 실수 k, b>0 이런 조건에서도 성립하나요?
직접 대입해서 성립하는지 확인하시면 될 것 같습니다.
쌤 너무 이해가 잘 돼요 ㅜㅜ 혹시 뭐 어디 선생님이세요?? 부업으로 유튜브 하시는 건가요오??
선생님 아닙니다. 그냥 동네 아재입니다. ^^
@@SAJD 와 그렇다기엔 강의력이 미쳤는데...
그럼 이거 그래프상에서 실근 값이 양수일때도 사용가능 한가요? 최대 최소 구할때
이차방정식 D>0이 경우에만 가능한가요?
무슨 말씀이신지 잘 모르겠습니다.
질문을 구체적이고 정확하게 해주셔야 답변을 드릴 수 있습니다.
최고다
감사합니다
a>0 b>0 c>0 이되면
(a+b+c)/3 >= 루트(abc)가 되는건가요
아니면 3루트가 되는건가요
세제곱근 됩니다.
등호가 성립 안되는 경우가 있나요?
a 와 b 가 서로 같지 않다는 제약조건이 있으면 그럴수도 있겠죠.
나의구원자
나중에도 은근히많이 나오는 개념
a,b가 0보다 크거나 같을때는 산술기하평균을 쓸 수 없나요?
산술평균이 기하평균보다 크거나 같다는 부등식은 a, b 중 하나 이상이 0인 경우에도 성립하지만, 그렇게 되면 기하평균이 항상 0이 되기 때문에 별 의미가 없습니다.
아 선샌님 감사합니다 ㅠㅠ
a와 b가 같지 않을때에는 a+b>2루트ab 만 성립하게 되는거고 a와 b가 같을때에는 a+b=2루트ab만 성립되는건가요?
네
수악중독 a와 b가 같으면 부등호가 없는데 최대값을 구하려면 어떻게 해야하나요?
무슨 말씀이신지...
수악중독 a와b같으면 2루트ab가 한개의 값이 나오는데 그 값이 최대값인지 알고 싶었어요
질문을 정확하고 구체적으로 해 주셔야 답변을 드릴 수가 있습니다.
1) 무엇의 최댓값을 말씀하시는 것인지요?
2) 양수 a, b 에 대해서 2루트(ab) 는 항상 하나의 값을 갖습니다.
와 진심으로 잘 이해된다
THANX
안녕하세요. 문제를 풀 때마다 등호가 성립하는지 확인해야 하는건가요?
그래야 하는 문제라면요
@@SAJD 그런 문제는 어떤 조건이 제시되어 있는지 여쭤봐도 될까요?
유형정리 문제들 풀어보시면 자연스럽게 아시게 됩니다.
형 팬미팅 열어줘 문제집에 싸인받으러갈게..
1:09
조화평균 어딨느
7:26
선술~
수학학원 하나요?수학학원 하시면 저 다닐레요^^
수학학원은 훌륭하신 분들만 하는 것으로 알고 있습니다.
재밌게 봤어요 감사합니다
감사합니다