2023년도 수학 2 기말고사 기출문제 풀이

[@수니-t5y]

감사합니다.^^ 모두 잘하시네요. 복받으셔서 훌륭한 수학교수님 되셔요.

[@0516Dlwlrma]

질문 하나만,, 드리겠습니다 (매번 감사합니다..ㅜㅜ)
1:13:15에 잠재함수를 가진다고 하셨는데, 해당 벡터장은 원점에서 정의되지 않는 것 같은데 잠재함수가 존재하는지 어떻게 바로 확인할 수 있을까요?🥲

[@snu7244]

정의역에 구멍이 없으면 푸앵카레 도움정리에 의해 닫힌형식인것만 확인해도 잠재함수가 존재함을 바로 알 수 있지만, 말씀하신대로 해당 백터장은 원점에서 정의되지 않기에 잠재함수가 존재함을 보이려면 영상의 1:07:20부터 설명되어있는 바와 같이 직접 계산을 통해 잠재함수를 찾음으로써 (잠재함수를 직접 찾는 과정은 2학기 7주차 영상을 참고해주세요!) 보일 수 밖에 없습니다.
한편 어떤 벡터장이 잠재함수를 가지지 않음을 보이기 위해서는 직접 계산하는 것 외에도, 선적분의 기본 정리의 대우를 이용하여 특정 닫힌 곡선을 잡아 선적분의 값이 0이 되지 않음을 보이는 방법이 있을 것 같습니다!
답변이 도움이 되었길 바라며, 혹시 또 궁금하신 점이 있으시면 언제든 또 질문해주시기 바랍니다!

[@0516Dlwlrma]

⁠@@snu7244헉 그럼 각원소벡터장은 -arctan(x/y)를 편미분하면 나오지만 잠재함수를 가진다고 하지는 않지 않나요..?

[@snu7244]

각원소 벡터장은 -arctan(x/y)를 편미분하면 나오기 때문에 이 함수는 각원소 벡터장의 잠재함수가 맞지만,
여기서 중요한 포인트이자 조심해야 할 것은
0으로 나누면 안되다는 규칙에 의해 함수 -arctan(x/y)의 정의역은 y>0, 또는 y0에서만 논다고 하면 선적분의 기본 정리에 의해 이 잠재함수를 통해서 선적분의 값을 구해도 됩니다.
하지만 "원래 각원소벡터장의 정의역인 {평면-원점}에서 각원소벡터장은 -arctan(x/y)를 잠재함수를 가져"라고 말하면 이는 틀린 말이 됩니다. 말씀드렸듯 애초에 -arctan(x/y)가 {평면-원점} 전체에서 정의된 함수가 아니기 때문입니다.
그런데 보통 정의역에 대한 언급 없이 잠재함수가 존재한다 함은 벡터장의 정의역과 잠재함수의 정의역이 같은 것을 전제로 하므로 일반적으로 각원소벡터장은 잠재함수를 갖지 않는다고 말하는 것입니다.
하지만, 해당 기출 문제의 경우 우리가 구한 잠재함수가 실제로 {평면-원점} 전체에서 잘 정의된 함수이기 때문에 잠재함수를 갖는다고 말했던 것입니다!

[@0516Dlwlrma]

@@snu7244아! 벡터장의 정의역과 잠재함수의 정의역이 같아야 되는 거였군요! 그 점을 잘 몰랐던 것 같아요.. 정말 감사합니다!

[@몽글몽글-i8i]

후배들을 위해 힘써주셔서 너무 감사합니다

[@suri_owl]

대 주 영

[@말도안된다]

대 주 영