Obrigado pela solução. Observei os comentários de @fernanduca12 e @AntonioCosta-fu8qp e tive a mesma dúvida. O problema não fala que os angulos DEA e FEB são congruentes e consequentemente a construção geométrica que se fez do triangulo DEC congruente o triangulo DEA também não garante que o angulo DEC é congruente ao angulo FEB, assim não podemos dizer que o triangulo DEA é semelhante ao triangulo FEB, assim para que o raciocinio mostrado no video funcione devemos primeiro mostrar que os angulos DEA e FEB são congruentes bem como os angulos DEC e FEB são congruentes também. Tentei resolver o problema não considerando os triangulos DEA e FEB como semelhantes, aplicando o teorema de pitagoras ao triangulo DEA ao triangulo FEB assim obtive xˆ2 em função de a e também yˆ2 em função de a somei as duas expressões e obtive xˆ2 + yˆ2 em função de a, mas este caminho se mostrou bastante difícil e não cheguei a lugar nenhum. Então percebi que este problema na realidade são dois problemas em um, para calcularmos que a soma x + y seja minima temos primeiro que achar o ponto E que faz com que essa soma seja minima. Eu me lembrei das aulas de fisica sobre a reflexão da luz, pela fisica o angulo do raio incidente no espelho forma um angulo com a normal e o raio refletido forma um angulo com a normal com a mesma medida, ou seja, o angulo de incidencia com relação à normal é congruente com o angulo de reflexão com a normal, se considerarmos isso e considerarmos no nosso problema y como o raio de incidencia e x como o raio refletido então no ponto E, ponto de reflexão, o angulo de y "segmento BE" em relaçao a normal e o angulo de x " segmento EA" em relação a normal são congruentes, agora se estes angulos são congruentes, também são congruentes os angulos FEB e DEA "são os angulos em relação à horizontal e não à normal" assim temos a congruencia dos angulos desejados, mas temos também que saber da física que a luz sempre percorre o menor caminho, com isto poderiamos dizer que os angulos FEB e DEA são congruentes desde que o ponto E seja o ponto de reflexão e portanto poderiamos fazer a semelhança de triangulos FEB e DEA e resolveriamos o problema, entretanto uma boa questão de @AntonioCosta-fu8qp, é se entendi bem, isto é um conhecimento de fisica aplicando-se aqui num exercício que parece pura matemática e outra como se demonstra na fisica que se os angulos de incidencia e reflexaão são congruentes esta é a condição para o menor caminho da luz. Então tentei fazer a solução de forma puramente matemática, se nós construirmos como no video o triangulo DEC que é em essencia o triangulo DEA de ponta cabeça, é obvio que estes dois triangulos são congruentes, o segmento DE é comum, o segmento DA é congruente ao segmento DC "por construção" e o angulo ADE e o angulo CDE são congruentes "são retos", pelo caso LAL concluimos que os triangulos DEA e DEC são congruentes, então o angulo AED e o angulo CED são congruentes também e que o segmento CE mede x pois este segmento é congruente ao segmento AE do outro triangulo que mede x. Agora a meu ver é a parte mais importante observe que se o ponto E não estiver alinhado com os pontos C e B, não teremos x + y minimo ( na geometria plana a menor distancia entre dois pontos é um segmento de reta) então qual e' a menor distancia entre os pontos C e B? Resposta: é o segmento CB para x + y seja minimo, ou seja, os segmentos CE + EB seja minimo, o E tem que estar alinhado com os pontos C e B, ou seja o ponto E tem que pertencer ao segmento CB ai teremos x + y minimo. Se tivermos esta visão não precisamos nem usar semelhança de triangulos, se traçarmos pelo ponto C uma horizontal até ela tocar o prolongamento de BF, vamos chamar este ponto de G veremos a formação de um triangulo retangulo com um dos catetos horizontal CG o outro cateto vertical GB e a. hipotenusa CB que é o x + y minimo que precisamos encontrar, basta aplicar Pitagoras e temos o resultado procurado, veja que temos CG, neste problema é 180 e GB também é 180, então temos que x + y = 180*√2. Espero que esteja mais claro. Obrigado.
É mt legal isso pq também pode se fazer uma analogia a luz na física, já que a trajetória dela sempre percorrer o caminho mais curto, isso significa que podemos de cara igualar os ângulos AED e BEF, pq os ângulos de reflexão e incidência são iguais. Logo: 80/k = 100/(180-k) 10k = 8( 180 - k ) 18k = 8.180 => k = 80. Logo x= 80√2 e y = 100√2 Soma 180√2. Espero que tenham gostado da ideia.
80+100=180 como a linha tem 180 de comprimento e a soma das alturas é 180 a menor soma de x+y é a diagonal do quadrado 180 que é 180√2, essa que é a menor soma. Bem mais fácil e rapido, mas tenho que adimitir que a do video é mais bonita kk
Professor, fiz de modo diferente e achei o mesmo resultado: do ponto C, criei um novo triângulo com o segmento DF medindo 180, e o outro segmento BF medindo 180. Achei o valor de x +y. Conseguiu entender? Projetei o segmento DF e tranformei em CF. Depois prolonguei o BF somando 100+80.
O importante é tentar. Tem questão que não hora na Burga, mas quando vemos a solução aí vem aquela famosa frase: porque não vi isso? Valeu vamos pra frente.
Faltou uma real DEMONSTRAÇÃO de porque esse segmento é efetivamente a menor soma entre todas as posições que E ocupa sobre a reta r, que foi o que achei que ia encontrar aqui. Eu conhecia o procedimento, mas queria saber como é demonstrado, o que não aconteceu aqui. Simplesmente dizer que é a menor distância entre o ponto B e o ponto C não impede que outros caminhos, em outras posições do ponto E sobre a reta não possam ser menores.
A menor distância entre dois pontos é uma reta. Suponha uma pessoa saindo de B, em direção a A, mas tendo que passar por E. Essa distância será menor quando o ponto E estiver alinhado com B e C. Espero ter ajudado. Boa tarde.😊
Bom dia! Professor, o problema deveria dizer q os triângulos são semelhantes pois após o rebatimento, os pontos A, E e B só serão colineares se os triângulos forem semelhantes. Teria q fazer parte do enunciado do problema. A demonstração de semelhança, que o sr fez, usando ângulos alternos internos, pressupõe que o segmento AEB seja linear. Como seria a solução se a Torre de 80m, medisse 10m? Neste caso o rebatimento não funcionaria e ao ligarmos o ponto A ao ponto B por uma reta, não passaríamos por E. Mas não seria impossível de resolver fazendo um segmento AE e outro EB com os menores comprimentos possíveis. Faltou alguma informação complementar no enunciado para que o rebatimento pudesse ser usado como solução. Como o exemplo q dei, se a Torre de 80m medisse 10m, o rebatimento não resolveria e como seria a solução? Obrigado por mais um problema q nos ajuda a pensar, sempre assisto aos seus vídeos! Bom domingo a todos!!
Bom dia Antônio! O ponto E não é um ponto fixado, se a torre A fosse 10, o ponto E ficaria mas próximo da torre. Como A//B e as torres A e B são fixas, esses ângulos sempre serão alternos internos, ou seja , os triângulos são semelhantes em qualquer ponto E que pertence a reta r. Condição SINE QUA NON! Bom dia!, obrigado por participar.
@@luiscostacarlos Obrigado por responder professor. Mas se a condição de semelhança é obrigatória então não é necessário fazer o rebatimento. Bastaria usar as condições nos triângulos dados. Ao se rebater não ficou provada a semelhança, apenas se supos q ela ja existia, e os pontos A, E e B foram considerados colineares. Deveria ser dito que para a distância AB ser mínima, e tendo q passar por E, então os segmentos AE e EB, se alinhados formarão um segmento de reta e obrigatoriamente, os pontos A, E e B serão colineares. Seria uma condição imposta e então a semelhança dos triangulos seria consequencia. Não estou questionando a solução mas a forma como a semelhança foi mostrada. Obrigado e ótimo domingo!! ...desculpe incomodar seu domingo...👍🏼
@@AntonioCosta-fu8qp Eu estava com a mesma dúvida que tu, Antônio, e o que me ajudou a me dar conta é imaginar que a reta r é um espelho e queremos lançar um feixe de luz do ponto A até o B, refletindo no espelho r. Como a luz percorre sempre o menor caminho (que é o que a questão quer saber) e como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, os ângulos AÊC e BÊF são congruentes e, portanto, os dois triângulos são semelhantes. Não sei se ajudei 😬
@@frmeurerok, entendi seu raciocínio👍 mas não estou discordando da solução, só que a semelhança teria q ser mostrada obrigando os pontos B, E e A' (o ponto A rebatido), a serem colineares pois uma reta é o caminho mais curto. Então o ponto E fica definido como a intersecção da reta (base) com o segmento BA' sendo A' o rebatimento do ponto A. A solução está certa só achei que a explicação de semelhança ficou incompleta mas o prof, na resposta q me deu, esclareceu, ou seja, o segmento A'B, vai formar sempre triângulos semelhantes, pois são duas paralelas cortadas por uma transversal, e a interseção desta transversal com a base, definirá o ponto E. Obrigado pela atenção frmeurer, bom domingo e ótima semana p vc!!👍
Linda questão Uma outra solução... Se traçar uma reta paralela a reta r passando pelo ponto C e prolongar o lado BF até essa reta forma um triângulo retângulo isoceles de lado medindo 180 metros a hipotenusa é 180 *(raiz de dois)
Não vou olhar a sua mágica, e vou postar uma solução a partir do que entendi, mesmo que erre: 1) Vou posicionar a roldana C bem no meio, ai tenho 254,96 m de soma; 2) Se eu colocar formar dois triangulos com lados 80 * 80 e 100 * 100 , vou 254,56 , a menor distância 3) As outras possibilidadea, todas dão um valor maior. Se entendi é isso!
Parabéns pelo vídeo professor, foi bem didático e inspirador.
Estou começando a explicar matemática também, quem puder, dá uma força aí.
Sucesso!
Obrigado pela solução. Observei os comentários de @fernanduca12 e @AntonioCosta-fu8qp e tive a mesma dúvida. O problema não fala que os angulos DEA e FEB são congruentes e consequentemente a construção geométrica que se fez do triangulo DEC congruente o triangulo DEA também não garante que o angulo DEC é congruente ao angulo FEB, assim não podemos dizer que o triangulo DEA é semelhante ao triangulo FEB, assim para que o raciocinio mostrado no video funcione devemos primeiro mostrar que os angulos DEA e FEB são congruentes bem como os angulos DEC e FEB são congruentes também. Tentei resolver o problema não considerando os triangulos DEA e FEB como semelhantes, aplicando o teorema de pitagoras ao triangulo DEA ao triangulo FEB assim obtive xˆ2 em função de a e também yˆ2 em função de a somei as duas expressões e obtive xˆ2 + yˆ2 em função de a, mas este caminho se mostrou bastante difícil e não cheguei a lugar nenhum. Então percebi que este problema na realidade são dois problemas em um, para calcularmos que a soma x + y seja minima temos primeiro que achar o ponto E que faz com que essa soma seja minima. Eu me lembrei das aulas de fisica sobre a reflexão da luz, pela fisica o angulo do raio incidente no espelho forma um angulo com a normal e o raio refletido forma um angulo com a normal com a mesma medida, ou seja, o angulo de incidencia com relação à normal é congruente com o angulo de reflexão com a normal, se considerarmos isso e considerarmos no nosso problema y como o raio de incidencia e x como o raio refletido então no ponto E, ponto de reflexão, o angulo de y "segmento BE" em relaçao a normal e o angulo de x " segmento EA" em relação a normal são congruentes, agora se estes angulos são congruentes, também são congruentes os angulos FEB e DEA "são os angulos em relação à horizontal e não à normal" assim temos a congruencia dos angulos desejados, mas temos também que saber da física que a luz sempre percorre o menor caminho, com isto poderiamos dizer que os angulos FEB e DEA são congruentes desde que o ponto E seja o ponto de reflexão e portanto poderiamos fazer a semelhança de triangulos FEB e DEA e resolveriamos o problema, entretanto uma boa questão de @AntonioCosta-fu8qp, é se entendi bem, isto é um conhecimento de fisica aplicando-se aqui num exercício que parece pura matemática e outra como se demonstra na fisica que se os angulos de incidencia e reflexaão são congruentes esta é a condição para o menor caminho da luz. Então tentei fazer a solução de forma puramente matemática, se nós construirmos como no video o triangulo DEC que é em essencia o triangulo DEA de ponta cabeça, é obvio que estes dois triangulos são congruentes, o segmento DE é comum, o segmento DA é congruente ao segmento DC "por construção" e o angulo ADE e o angulo CDE são congruentes "são retos", pelo caso LAL concluimos que os triangulos DEA e DEC são congruentes, então o angulo AED e o angulo CED são congruentes também e que o segmento CE mede x pois este segmento é congruente ao segmento AE do outro triangulo que mede x. Agora a meu ver é a parte mais importante observe que se o ponto E não estiver alinhado com os pontos C e B, não teremos x + y minimo ( na geometria plana a menor distancia entre dois pontos é um segmento de reta) então qual e' a menor distancia entre os pontos C e B? Resposta: é o segmento CB para x + y seja minimo, ou seja, os segmentos CE + EB seja minimo, o E tem que estar alinhado com os pontos C e B, ou seja o ponto E tem que pertencer ao segmento CB ai teremos x + y minimo. Se tivermos esta visão não precisamos nem usar semelhança de triangulos, se traçarmos pelo ponto C uma horizontal até ela tocar o prolongamento de BF, vamos chamar este ponto de G veremos a formação de um triangulo retangulo com um dos catetos horizontal CG o outro cateto vertical GB e a. hipotenusa CB que é o x + y minimo que precisamos encontrar, basta aplicar Pitagoras e temos o resultado procurado, veja que temos CG, neste problema é 180 e GB também é 180, então temos que x + y = 180*√2. Espero que esteja mais claro. Obrigado.
É mt legal isso pq também pode se fazer uma analogia a luz na física, já que a trajetória dela sempre percorrer o caminho mais curto, isso significa que podemos de cara igualar os ângulos AED e BEF, pq os ângulos de reflexão e incidência são iguais.
Logo: 80/k = 100/(180-k)
10k = 8( 180 - k )
18k = 8.180 => k = 80.
Logo x= 80√2 e y = 100√2
Soma 180√2.
Espero que tenham gostado da ideia.
É isso mesmo. Boa observação. 👏👏
Triângulo retângulo isóscele de catetos 180m, ângulos de 45 graus=> 180xraiz de 2.
Exatamente isso. Basta rebater o lado 80. Uma reflexão em torno do eixo X.
Muito bacana
EXCELENTE
Boa questão, se não prolongar as restas, não consegue desenvolver. Show!!!
Isso mesmo. Obrigado.
Questão bacana, parabéns!
Obrigado 😃
Show
80+100=180 como a linha tem 180 de comprimento e a soma das alturas é 180 a menor soma de x+y é a diagonal do quadrado 180 que é 180√2, essa que é a menor soma. Bem mais fácil e rapido, mas tenho que adimitir que a do video é mais bonita kk
👏👏
Professor, fiz de modo diferente e achei o mesmo resultado: do ponto C, criei um novo triângulo com o segmento DF medindo 180, e o outro segmento BF medindo 180. Achei o valor de x +y. Conseguiu entender? Projetei o segmento DF e tranformei em CF. Depois prolonguei o BF somando 100+80.
É isso aí!
Ecelente questão! Cisquei, cisquei e não saí do lugar...kkkkkk Acho que dava pra resolver derivando e igualando a zero né?
O importante é tentar. Tem questão que não hora na Burga, mas quando vemos a solução aí vem aquela famosa frase: porque não vi isso? Valeu vamos pra frente.
Solução genial.
Excellent
Other method
80 tan A + 100 tan B = 180
but A = B
hence tan A = 1 , A = 45°
x+y = 80 sec 45° + 100 sec 45°
= 180√2
👏👏
Faltou uma real DEMONSTRAÇÃO de porque esse segmento é efetivamente a menor soma entre todas as posições que E ocupa sobre a reta r, que foi o que achei que ia encontrar aqui. Eu conhecia o procedimento, mas queria saber como é demonstrado, o que não aconteceu aqui. Simplesmente dizer que é a menor distância entre o ponto B e o ponto C não impede que outros caminhos, em outras posições do ponto E sobre a reta não possam ser menores.
A menor distância entre dois pontos é uma reta. Suponha uma pessoa saindo de B, em direção a A, mas tendo que passar por E. Essa distância será menor quando o ponto E estiver alinhado com B e C.
Espero ter ajudado. Boa tarde.😊
Valeu!
Obrigado
Bom dia! Professor, o problema deveria dizer q os triângulos são semelhantes pois após o rebatimento, os pontos A, E e B só serão colineares se os triângulos forem semelhantes. Teria q fazer parte do enunciado do problema. A demonstração de semelhança, que o sr fez, usando ângulos alternos internos, pressupõe que o segmento AEB seja linear. Como seria a solução se a Torre de 80m, medisse 10m? Neste caso o rebatimento não funcionaria e ao ligarmos o ponto A ao ponto B por uma reta, não passaríamos por E. Mas não seria impossível de resolver fazendo um segmento AE e outro EB com os menores comprimentos possíveis. Faltou alguma informação complementar no enunciado para que o rebatimento pudesse ser usado como solução. Como o exemplo q dei, se a Torre de 80m medisse 10m, o rebatimento não resolveria e como seria a solução?
Obrigado por mais um problema q nos ajuda a pensar, sempre assisto aos seus vídeos! Bom domingo a todos!!
Bom dia Antônio! O ponto E não é um ponto fixado, se a torre A fosse 10, o ponto E ficaria mas próximo da torre. Como A//B e as torres A e B são fixas, esses ângulos sempre serão alternos internos, ou seja , os triângulos são semelhantes em qualquer ponto E que pertence a reta r.
Condição SINE QUA NON!
Bom dia!, obrigado por participar.
@@luiscostacarlos Obrigado por responder professor. Mas se a condição de semelhança é obrigatória então não é necessário fazer o rebatimento. Bastaria usar as condições nos triângulos dados. Ao se rebater não ficou provada a semelhança, apenas se supos q ela ja existia, e os pontos A, E e B foram considerados colineares. Deveria ser dito que para a distância AB ser mínima, e tendo q passar por E, então os segmentos AE e EB, se alinhados formarão um segmento de reta e obrigatoriamente, os pontos A, E e B serão colineares. Seria uma condição imposta e então a semelhança dos triangulos seria consequencia. Não estou questionando a solução mas a forma como a semelhança foi mostrada. Obrigado e ótimo domingo!! ...desculpe incomodar seu domingo...👍🏼
@@AntonioCosta-fu8qp Eu estava com a mesma dúvida que tu, Antônio, e o que me ajudou a me dar conta é imaginar que a reta r é um espelho e queremos lançar um feixe de luz do ponto A até o B, refletindo no espelho r. Como a luz percorre sempre o menor caminho (que é o que a questão quer saber) e como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, os ângulos AÊC e BÊF são congruentes e, portanto, os dois triângulos são semelhantes. Não sei se ajudei 😬
@@frmeurerok, entendi seu raciocínio👍 mas não estou discordando da solução, só que a semelhança teria q ser mostrada obrigando os pontos B, E e A' (o ponto A rebatido), a serem colineares pois uma reta é o caminho mais curto. Então o ponto E fica definido como a intersecção da reta (base) com o segmento BA' sendo A' o rebatimento do ponto A. A solução está certa só achei que a explicação de semelhança ficou incompleta mas o prof, na resposta q me deu, esclareceu, ou seja, o segmento A'B, vai formar sempre triângulos semelhantes, pois são duas paralelas cortadas por uma transversal, e a interseção desta transversal com a base, definirá o ponto E. Obrigado pela atenção frmeurer, bom domingo e ótima semana p vc!!👍
@@frmeurerDesculpe não usar seu nome...Bom domingo e ótima semana, Flávio!!👍
👉🔝
Obrigado. Sucesso em suas aulas. Bom dia.
Linda questão
Uma outra solução...
Se traçar uma reta paralela a reta r passando pelo ponto C e prolongar o lado BF até essa reta forma um triângulo retângulo isoceles de lado medindo 180 metros a hipotenusa é 180 *(raiz de dois)
👏👏
Não vou olhar a sua mágica, e vou postar uma solução a partir do que entendi, mesmo que erre:
1) Vou posicionar a roldana C bem no meio, ai tenho 254,96 m de soma;
2) Se eu colocar formar dois triangulos com lados 80 * 80 e 100 * 100 , vou 254,56 , a menor distância
3) As outras possibilidadea, todas dão um valor maior.
Se entendi é isso!
Rapaz, vc é fera. Mas dê uma olhadinha na minha mágica hehehe.
Sim, olharei.
Mas o like já foi dado!!!