Taka mała uwaga metodyczna do rozwiązania zadania. Można użyć zwrotu "bez utraty ogólności", gdyż wtedy możemy liczby odpowiednio ustawić, i wybrać kolejne liczby pierwsze p_1...p_s jako NWD. Trochę mniej znaczków indeksów będzie. Co zaś do sensowności tego zadania, to jest ono w rodzaju "daj coś z rokiem aktualnym to fajnie będzie". No i jest fajnie tylko trochę głupio zarazem, bo większości własności wskazanych w zadaniu po prostu nie używamy, zaś liczbę 2024 moglibyśmy zastąpić jakimkolwiek symbolem M "bez utraty sensu zadania i bez podniesienia poziomu trudności". Z drugiej strony warto sobie zobaczyć jak to zadanie będzie wyglądało dla przypadków M=2 i 3. Dla M=2 nasze NWD może przyjąć wartości 1, p, n/p, n, gdzie p jest jedną z dwóch liczb pierwszych. Dla M=3 podobnie 1,p,q,r,pq,pr,qr,n, gdzie p,q,r są to liczby pierwsze. Dalej już widać na czym polega postęp. Wreszcie po trzecie warto się zastanowić, co by się zmieniło w zadaniu bez założenia o tym, że są to różne liczby pierwsze. Na przykład gdyby to było n=2^2024. Przykład dla M=2 mógłby być taki n=4, NWD=1,2,4, k=5,6,8. No i chyba ta wersja zadania bardziej pasuje do poziomu olimpijskiego niż oryginał. 🧔
@@pianoplayer281 Jeszcze taki przykład, który obrazuje dlaczego warto przy rozwiązywaniu zadań rozważać proste przypadki. Jest to zadanie 3 z IMO z lipca 2024. Mamy nieskończony ciąg liczb całkowitych dodatnich A=(a_n), n=1,2,..., który tworzymy tak: a_1 jest dowolna liczbą, zaś a_{n+1} jest liczbą wystąpień a_n w tym ciągu do miejsca n włącznie. Trzeba pokazać, że ciąg wyrazów z parzystym indeksem B albo ciąg wyrazów z nieparzystym indeksem C jest od pewnego miejsca okresowy. Bierzemy a_1=1 i patrzymy co się stanie. Mamy a_2=1, a_3=2,a_4=1,a_5=3,... itd. Widać od razu w czym rzecz - wszystkie wyrazy o parzystych indeksach będą równe 1 (podciąg B), bo drugi ciąg "nieparzysty" jest ściśle rosnący, więc żaden z jego wyrazów nie wystąpił jeszcze w ciągu A. Podobnie będzie we wszystkich innych przypadkach gdy osiągniemy punkt krytyczny, czyli przeskoczymy wielkość pierwszego wyrazu. Widać to dla a_1=2, gdzie mamy 2,1,1,2,[2,3,1,3; 2,4,1,4; 2,5,1,5; 2,6,...] czyli nawet od a_1 mamy okres (2,1) ciągu C. Dalej dla a_1=3 mamy 3,1,1,2,1,3,2,2,3, [3,4,1,4,2,4; 3,5,1,5,2,5; 3,6,1,6,2,6;....]. Zaznaczyłem nawiasem kwadratowym i średnikami rodzaj postępu i teraz już widać o co chodzi. Można sformułować zwarte wnioski. Jak widać jest to bardzo proste zadanie o ile spróbujemy dokonać tego rodzaju wizualizacji, wykorzystamy proste przykłady zamiast w panice szukać jakichś wzorów i twierdzeń. To jest szczególnie ważne w geometrii i algebrze, gdzie niezrozumiane do końca wzory mogą wprowadzać w błąd. Jeśli kiedyś będzie się pan zajmował (dla mnie wprost zachwycającą) teorią Grothendiecka dotyczącą schematów (schemes) czy motywów (motives lub motifs), to tam będzie widać jak automatyczne podejście zawodzi na całej linii. Proszę zwrócić uwagę w tekście z Wikipedii na taki fragment "Grothendieck's theory of the étale fundamental group treats the fundamental group and the Galois group on the same footing". Tak więc wyobraźnia to w matematyce skill lub perk absolutnie podstawowy 🙂 PS: Czy już wspominałem, że liczenie w przestrzeniach rzutowych albo we współrzędnych jednorodnych to absolutna podstawa w matematyce teoretycznej? Jest tam tez zadanie "podobne" do powyższego, ale chyba trochę mądrzejsze, więc polecam 😂. Zad 2: Wyznaczyć wszystkie pary (a, b) dodatnich liczb całkowitych, dla których istnieją takie dodatnie liczby całkowite g i N , że NWD(a^n+b,b^n+a)=g, dla wszystkich liczb całkowitych n ⩾ N.
@@imcwaszec937 ten przykład z IMO też zacząłbym od małych przypadków bo często widać jak uogólnić. A ta teoria o której piszesz brzmi bardzo ciekawie i zarazem zaawansowanie. Wydaje się że bez znajomości teorii grup może być ciężko przebrnąć przez ten materiał. Czym się zajmujesz na codzień jeśli można wiedzieć?
@@pianoplayer281 Nie wiem w jakim sensie "na co dzień"? Jeśli chodzi o matematykę, to będzie już kilkanaście lat temu z okładem jak wpadłem na nową ideę w teorii pierścieni i modułów oraz po części też w geometrii algebraicznej (w części dotyczącej krzywych, np. eliptycznych). Opracowałem też sobie teorię grup, kombinatorykę, teorię liczb i teorię kategorii, bo to się wszędzie przydaje. Pisząc "opracowałem" nie sugeruję niniejszym, że mam gdzieś w szafie stare zakurzone notatki z wykładu, tylko realnie mam w domu kilkaset książek (w tym prawie 50 tomów BM plus kolejne 50 to perełki z wielu dziedzin typu np. Martina Aignera z kombinatoryki i matroidów, Szafarewicza z geometrii algebraicznej, Petera Olvera z zastosowań grup i algebr Liego, analizy z pół regału, nawet tom Hilberta 😆po ojcu, w sumie więcej niż zdołałbym w życiu przeczytać), w sieci resztę i to wszystko po prostu czytam, rozumiem i opracowuję. Benedyktyńska robota, przyznaję. Od jakiegoś czasu dzielę swoje zainteresowania pomiędzy pracę nad moim pomysłem i rozszerzaniem mojej wiedzy wokół tego tematu. Przebijam się przez teorie, które mogą się mi do czegoś przydać (np. te schematy, ). Zajmując się krzywymi eliptycznymi po prostu musiałem zając się też tematem obliczeń i programowania, w tym arytmetyką modularną i dostępnymi w procesorach zestawami rozkazów, musiałem wręcz zboczyć w kierunku kryptografii opartej na krzywych (w tym post quantum, SIDH i SIKE). Tak, pracowałem całe lata nie jako matematyk, tylko jako informatyk - analityk oprogramowania i programista, nawet administrator sieci. Dlatego teraz sam sobie piszę potrzebny do zajmowania się tym co wyżej system obliczeń symbolicznych CAS, coś a la SageMath, bo istniejące systemy nie obejmowały mojej arytmetyki, a w kwestiach automatyzacji obliczeń nie obejmują właściwych tematowi logik nieklasycznych. Sporo tego, więc nie da się wszystkiego napisać w jednym poście. W każdym razie nie sądzę, aby ktokolwiek na UW miał przerobiony tak szeroki materiał w ramach normalnego kursu z doktoratem włącznie. Na studiach jest za mało czasu na to wszystko, a potem specjalizacja i praca praktycznie wyłącza już wszystko inne. Kiedyś próbowałem ludzi zainteresować matematyką w sieci i popełniłem kilka artykułów, lecz teraz mam z uwagi na temat strasznie mało czasu. Szczerze mówiąc zainteresowanie jest śladowe. Mówi pan, że Grothendieck brzmi ciekawie? To jest wiedza absolutnie niezbędna we współczesnej matematyce i w realnych badaniach nad rozmaitymi głośnymi hipotezami, a także w słynnym programie Langlandsa. Zresztą Wikipedia świetnie ten temat zarysowuje (angielska). Oprócz schematów warto też zapoznać się z teorią toposów, która jest niejako naturalnym przedłużeniem geometrii algebraicznej, czas też poznać inne logiki jak np. modalne. Kiedyś posprzeczałem się o to co jest podstawą matematyki z pewnym emerytowanym wykładowcą z UW, bo on nijak nie mógł zrozumieć, że można budować matematykę w oparciu o coś innego niż zbiory i funkcje. W szczególności jego ulubione snopy z topologi algebraicznej i ogólnie teorie topologiczne (raczej geometryczne) nie muszą dotyczyć zbiorów (czyli algebr Boolea). Brzmi ciekawie, prawda? 😎 PS: W artykule Wikipedii "Abstract simplicial complex" jest ukazana pewna hierarchia obiektów: HYPERGRAPHS = SET-FAMILIES ⊃ INDEPENDENCE-SYSTEMS = ABSTRACT-SIMPLICIAL-COMPLEXES ⊃ MATROIDS a dalej wgłąb mamy jeszcze różne struktury incydencji, geometrie częściowe, systemy Steinera, konfiguracje i geometrie skończone, rzutowe i inne. Większość z tego ma przełożenie na inne dziedziny matematyki w tym analizę. Jest co robić na dziesiątki lat, a nie zagarniając bardzo szeroko w tym morzu faktów po prostu nie można się dziś nazywać matematykiem, niestety :)))
@@imcwaszec937 fascynuje to co piszesz. “Pracy na dziesiątki lat” :) też wiem ile czeka mnie pracy i że jest jej dużo. A czym konkretnie chciałbym się zajmować nie wiem. To znaczy zajmę się tym co jest dla mnie interesujące na dany czas. I na pewno przejrzę tematy które poleciłeś bo są dla mnie inspiracją. Dzięki, zostań proszę na kanale bo mam przeczucie że Twoja wiedza może się bardzo przydać :) na przykład gdy zacznę przerabiać Twoje tematy. Co do zbioru książek to jestem pod wrażeniem :)
3 było najlatwiejsze wedlug mnie, pierwszy raz próbuje olimpiade Wszystkie 4 pierwsze zadania juz wyslane, z 2 serii natazie tylko 8 mam choć 7 też może siadzie 5 nie mam żadnego pomysłu nad 6 nie myslalem jeszcze
Ja w tym roku również próbuje pierwszy raz, więc się utożsamiam. Jednak moim zdaniem najłatwiejsze było 1 później 3, 2, a na koniec 4. Najwięcej czasu spędziłem nad 4, bo przez 2 dni myślałem że teza wgl nie zachodzi, bo źle rozważylem początkowe przypadki i próbowałem tego dowieść. Z 2 serii osobiście uważam, że najtrudniejsze z tych co mam jest 5. Oprócz tego to 6 jak usiadłem do tego dzisiaj i przeanalizowałem dobrze jeden przypadek to poszło w 15 na pomysł i 15 na spisanie calego dowodu. No a w 8 jakbym wpadł odrazu na to co wpadłem to też by szybko poszlo, ale nie poszło przez 2 tygodnie. No ogólnie jak na razie to trudnością to 5 > 8 > 6. Nie wiem jeszcze niestety co z tą geometria i czy w ogóle się uda, bo z geometrii najlepszy nie jestem. Pocieszające jest to, że podobno jest prosta
@@leondudaOfficial jednak byc moze masz racje, wlasnie usiadlem i zrobilem 6, wedlug mnie bardzo proste 8 chcialem spisac dowod i wyslac ale jednak mam zle ;)
Z tego co pamietam to zadanie poszlo mi szybko, wystarczylo zalozyc ze k = n + l gdzie 0 =< l
W sumie racja. Szybko :)
Taka mała uwaga metodyczna do rozwiązania zadania. Można użyć zwrotu "bez utraty ogólności", gdyż wtedy możemy liczby odpowiednio ustawić, i wybrać kolejne liczby pierwsze p_1...p_s jako NWD. Trochę mniej znaczków indeksów będzie. Co zaś do sensowności tego zadania, to jest ono w rodzaju "daj coś z rokiem aktualnym to fajnie będzie". No i jest fajnie tylko trochę głupio zarazem, bo większości własności wskazanych w zadaniu po prostu nie używamy, zaś liczbę 2024 moglibyśmy zastąpić jakimkolwiek symbolem M "bez utraty sensu zadania i bez podniesienia poziomu trudności". Z drugiej strony warto sobie zobaczyć jak to zadanie będzie wyglądało dla przypadków M=2 i 3. Dla M=2 nasze NWD może przyjąć wartości 1, p, n/p, n, gdzie p jest jedną z dwóch liczb pierwszych. Dla M=3 podobnie 1,p,q,r,pq,pr,qr,n, gdzie p,q,r są to liczby pierwsze. Dalej już widać na czym polega postęp. Wreszcie po trzecie warto się zastanowić, co by się zmieniło w zadaniu bez założenia o tym, że są to różne liczby pierwsze. Na przykład gdyby to było n=2^2024. Przykład dla M=2 mógłby być taki n=4, NWD=1,2,4, k=5,6,8. No i chyba ta wersja zadania bardziej pasuje do poziomu olimpijskiego niż oryginał. 🧔
@@imcwaszec937 racja, dzięki za cenne uwagi. Bardzo miło się czyta Twój komentarz.
@@pianoplayer281 Jeszcze taki przykład, który obrazuje dlaczego warto przy rozwiązywaniu zadań rozważać proste przypadki. Jest to zadanie 3 z IMO z lipca 2024. Mamy nieskończony ciąg liczb całkowitych dodatnich A=(a_n), n=1,2,..., który tworzymy tak: a_1 jest dowolna liczbą, zaś a_{n+1} jest liczbą wystąpień a_n w tym ciągu do miejsca n włącznie. Trzeba pokazać, że ciąg wyrazów z parzystym indeksem B albo ciąg wyrazów z nieparzystym indeksem C jest od pewnego miejsca okresowy. Bierzemy a_1=1 i patrzymy co się stanie. Mamy a_2=1, a_3=2,a_4=1,a_5=3,... itd. Widać od razu w czym rzecz - wszystkie wyrazy o parzystych indeksach będą równe 1 (podciąg B), bo drugi ciąg "nieparzysty" jest ściśle rosnący, więc żaden z jego wyrazów nie wystąpił jeszcze w ciągu A. Podobnie będzie we wszystkich innych przypadkach gdy osiągniemy punkt krytyczny, czyli przeskoczymy wielkość pierwszego wyrazu. Widać to dla a_1=2, gdzie mamy 2,1,1,2,[2,3,1,3; 2,4,1,4; 2,5,1,5; 2,6,...] czyli nawet od a_1 mamy okres (2,1) ciągu C. Dalej dla a_1=3 mamy 3,1,1,2,1,3,2,2,3, [3,4,1,4,2,4; 3,5,1,5,2,5; 3,6,1,6,2,6;....]. Zaznaczyłem nawiasem kwadratowym i średnikami rodzaj postępu i teraz już widać o co chodzi. Można sformułować zwarte wnioski.
Jak widać jest to bardzo proste zadanie o ile spróbujemy dokonać tego rodzaju wizualizacji, wykorzystamy proste przykłady zamiast w panice szukać jakichś wzorów i twierdzeń. To jest szczególnie ważne w geometrii i algebrze, gdzie niezrozumiane do końca wzory mogą wprowadzać w błąd. Jeśli kiedyś będzie się pan zajmował (dla mnie wprost zachwycającą) teorią Grothendiecka dotyczącą schematów (schemes) czy motywów (motives lub motifs), to tam będzie widać jak automatyczne podejście zawodzi na całej linii. Proszę zwrócić uwagę w tekście z Wikipedii na taki fragment "Grothendieck's theory of the étale fundamental group treats the fundamental group and the Galois group on the same footing". Tak więc wyobraźnia to w matematyce skill lub perk absolutnie podstawowy 🙂
PS: Czy już wspominałem, że liczenie w przestrzeniach rzutowych albo we współrzędnych jednorodnych to absolutna podstawa w matematyce teoretycznej?
Jest tam tez zadanie "podobne" do powyższego, ale chyba trochę mądrzejsze, więc polecam 😂. Zad 2: Wyznaczyć wszystkie pary (a, b) dodatnich liczb całkowitych, dla których istnieją takie dodatnie liczby całkowite g i N , że NWD(a^n+b,b^n+a)=g, dla wszystkich liczb całkowitych n ⩾ N.
@@imcwaszec937 ten przykład z IMO też zacząłbym od małych przypadków bo często widać jak uogólnić. A ta teoria o której piszesz brzmi bardzo ciekawie i zarazem zaawansowanie. Wydaje się że bez znajomości teorii grup może być ciężko przebrnąć przez ten materiał. Czym się zajmujesz na codzień jeśli można wiedzieć?
@@pianoplayer281 Nie wiem w jakim sensie "na co dzień"? Jeśli chodzi o matematykę, to będzie już kilkanaście lat temu z okładem jak wpadłem na nową ideę w teorii pierścieni i modułów oraz po części też w geometrii algebraicznej (w części dotyczącej krzywych, np. eliptycznych). Opracowałem też sobie teorię grup, kombinatorykę, teorię liczb i teorię kategorii, bo to się wszędzie przydaje. Pisząc "opracowałem" nie sugeruję niniejszym, że mam gdzieś w szafie stare zakurzone notatki z wykładu, tylko realnie mam w domu kilkaset książek (w tym prawie 50 tomów BM plus kolejne 50 to perełki z wielu dziedzin typu np. Martina Aignera z kombinatoryki i matroidów, Szafarewicza z geometrii algebraicznej, Petera Olvera z zastosowań grup i algebr Liego, analizy z pół regału, nawet tom Hilberta 😆po ojcu, w sumie więcej niż zdołałbym w życiu przeczytać), w sieci resztę i to wszystko po prostu czytam, rozumiem i opracowuję. Benedyktyńska robota, przyznaję. Od jakiegoś czasu dzielę swoje zainteresowania pomiędzy pracę nad moim pomysłem i rozszerzaniem mojej wiedzy wokół tego tematu. Przebijam się przez teorie, które mogą się mi do czegoś przydać (np. te schematy, ). Zajmując się krzywymi eliptycznymi po prostu musiałem zając się też tematem obliczeń i programowania, w tym arytmetyką modularną i dostępnymi w procesorach zestawami rozkazów, musiałem wręcz zboczyć w kierunku kryptografii opartej na krzywych (w tym post quantum, SIDH i SIKE). Tak, pracowałem całe lata nie jako matematyk, tylko jako informatyk - analityk oprogramowania i programista, nawet administrator sieci. Dlatego teraz sam sobie piszę potrzebny do zajmowania się tym co wyżej system obliczeń symbolicznych CAS, coś a la SageMath, bo istniejące systemy nie obejmowały mojej arytmetyki, a w kwestiach automatyzacji obliczeń nie obejmują właściwych tematowi logik nieklasycznych. Sporo tego, więc nie da się wszystkiego napisać w jednym poście. W każdym razie nie sądzę, aby ktokolwiek na UW miał przerobiony tak szeroki materiał w ramach normalnego kursu z doktoratem włącznie. Na studiach jest za mało czasu na to wszystko, a potem specjalizacja i praca praktycznie wyłącza już wszystko inne.
Kiedyś próbowałem ludzi zainteresować matematyką w sieci i popełniłem kilka artykułów, lecz teraz mam z uwagi na temat strasznie mało czasu. Szczerze mówiąc zainteresowanie jest śladowe. Mówi pan, że Grothendieck brzmi ciekawie? To jest wiedza absolutnie niezbędna we współczesnej matematyce i w realnych badaniach nad rozmaitymi głośnymi hipotezami, a także w słynnym programie Langlandsa. Zresztą Wikipedia świetnie ten temat zarysowuje (angielska). Oprócz schematów warto też zapoznać się z teorią toposów, która jest niejako naturalnym przedłużeniem geometrii algebraicznej, czas też poznać inne logiki jak np. modalne. Kiedyś posprzeczałem się o to co jest podstawą matematyki z pewnym emerytowanym wykładowcą z UW, bo on nijak nie mógł zrozumieć, że można budować matematykę w oparciu o coś innego niż zbiory i funkcje. W szczególności jego ulubione snopy z topologi algebraicznej i ogólnie teorie topologiczne (raczej geometryczne) nie muszą dotyczyć zbiorów (czyli algebr Boolea). Brzmi ciekawie, prawda? 😎
PS: W artykule Wikipedii "Abstract simplicial complex" jest ukazana pewna hierarchia obiektów: HYPERGRAPHS = SET-FAMILIES ⊃ INDEPENDENCE-SYSTEMS = ABSTRACT-SIMPLICIAL-COMPLEXES ⊃ MATROIDS a dalej wgłąb mamy jeszcze różne struktury incydencji, geometrie częściowe, systemy Steinera, konfiguracje i geometrie skończone, rzutowe i inne. Większość z tego ma przełożenie na inne dziedziny matematyki w tym analizę. Jest co robić na dziesiątki lat, a nie zagarniając bardzo szeroko w tym morzu faktów po prostu nie można się dziś nazywać matematykiem, niestety :)))
@@imcwaszec937 fascynuje to co piszesz. “Pracy na dziesiątki lat” :) też wiem ile czeka mnie pracy i że jest jej dużo. A czym konkretnie chciałbym się zajmować nie wiem. To znaczy zajmę się tym co jest dla mnie interesujące na dany czas. I na pewno przejrzę tematy które poleciłeś bo są dla mnie inspiracją. Dzięki, zostań proszę na kanale bo mam przeczucie że Twoja wiedza może się bardzo przydać :) na przykład gdy zacznę przerabiać Twoje tematy. Co do zbioru książek to jestem pod wrażeniem :)
3 było najlatwiejsze wedlug mnie, pierwszy raz próbuje olimpiade
Wszystkie 4 pierwsze zadania juz wyslane, z 2 serii natazie tylko 8 mam choć 7 też może siadzie
5 nie mam żadnego pomysłu nad 6 nie myslalem jeszcze
O to ciekawe bo ja osobiście uważam że 8 jest trudniejsze niz 5 i 6
@@leondudaOfficialnoo mi układy rownan łatwo wchodzą, zadania typu 5 zwykle jeszcze łatwiej ale jak widać to jedno nie
No ciekawe, jak tylko ukażą się rozwiązania to spróbuje je rozwiązać :)
Ja w tym roku również próbuje pierwszy raz, więc się utożsamiam. Jednak moim zdaniem najłatwiejsze było 1 później 3, 2, a na koniec 4. Najwięcej czasu spędziłem nad 4, bo przez 2 dni myślałem że teza wgl nie zachodzi, bo źle rozważylem początkowe przypadki i próbowałem tego dowieść. Z 2 serii osobiście uważam, że najtrudniejsze z tych co mam jest 5. Oprócz tego to 6 jak usiadłem do tego dzisiaj i przeanalizowałem dobrze jeden przypadek to poszło w 15 na pomysł i 15 na spisanie calego dowodu. No a w 8 jakbym wpadł odrazu na to co wpadłem to też by szybko poszlo, ale nie poszło przez 2 tygodnie. No ogólnie jak na razie to trudnością to 5 > 8 > 6. Nie wiem jeszcze niestety co z tą geometria i czy w ogóle się uda, bo z geometrii najlepszy nie jestem. Pocieszające jest to, że podobno jest prosta
@@leondudaOfficial jednak byc moze masz racje, wlasnie usiadlem i zrobilem 6, wedlug mnie bardzo proste
8 chcialem spisac dowod i wyslac ale jednak mam zle ;)
Jak się kot wabi? :)
@@danielaszczewski472 rudy Simba a czarna Cika :) Simba ma 2.5 roku a Cika 4 lata :) czasami wchodzą na moje nagrania :)