Nagyon jò videò! Nekem csak a generàlò elem/pivot elem elhangzàsa hiànyzott, mint fogalom (b_k-ròl van szò). Emellett èrdemes elgondolkodni nèhàny dolgon, akàr szòt is lehet ejteni ròluk: 1) A muvelet megnevezèse. Az "elemi" kifejezès az elemi bàzistranszformàciòbòl arra utal, hogy a speciàlis, egysègvektorokbòl àllò bàzisbòl indulunk ki (amiket megfeleloen egymàs alà vagy mellè pakolva egy E egysègmàtrixot ad ki). e_1, e_2, ..., e_n egysègvektorok àltal alkotott vektorrendszer ugyanis biztosan bàzisa L_n-nek, mivel L_n vektortèr minden vektora eloàllìthatò ezeknek a lineàris kombinàciòjàval, mèghozzà egyèrtelmuen. 2) A szàmolàsok felgyorsìtàsànak èrdekèben cèlszeru lehet kiszàmìtani az x_k/b_k hànyadost ès felìrni, mivel ez az ùj koordinàtàk (kivève a generàlò elem soràban ès oszlopàban lèvoket) meghatàrozàsakor mindenhol megjelenik (enèlkul egy 6x6-os tàblàzatban mondjuk màr lassabban menne valòszìnuleg a bàzistrafò). 3) Amikor b_k-t bevisszuk a bàzisba a_k helyère, akkor ahogy helyesen mondtad, b vektort kiìrni màr nem is cèlszeru, mert ez triviàlis informàciòt hordoz, mèghozzà azt, hogy a bàzisban lèvo a_1, a_2, ..., a_n vektorokat 0-val szorozzuk meg, b vektort pedig 1-gyel, ìgy elo is àllìtottuk b vektort a bàzisban lèvo vektorok lineàris kombinàciòjakènt. Màshogy fogalmazva b vektornak a_1, a_2, ..., a_k-1, b, a_k+1, ..., a_n vektorok àltal alkotott bàzisra vonatkozò koordinàtài azok csupa 0-k lesznek, kivève b vektor soràban, ahol 1-es lesz, ìgy gyakorlatilag az oszlopvektorok kozott b vektor helyèn olyan, mintha megjelenne a k-adik egysègvektor (e_k), ami nem igaz, de b vektor bàzisra vonatkozò koordinàtài vèletlenul pont ugyanaz lesz, mint e_k komponensei (de nem vagyok matek tanàr, ùgyhogy màr csak remèlem, hogy jòl hasznàlom itt a szavakat, alapbòl is nèha zurzavart okoz, hogy mi koordinàta, ès mi komponens, ràadàsul itt nem csak sima koordinàtàkròl beszèlunk, hanem bàzisra vonatkozò koordinàtàkròl. Szòval elnèzèst, ha rosszul hasznàltam a szavakat). (Itt zàròjelben megjegyzem, hogy amìg mèg a speciàlis, egysègvektorokbòl àllò bàzisbòl az egyik egysègvektort, a k-adikat pèldàul, szeretnènk kicserèlni b vektorra, akkor konkrètan b ès e_k kicserèlodnek egymàsra.) Emiatt van egy màsik megkozelìtès is a szàmìtàsok elvègzèsère, mèg pedig az, hogy a generàlò elem segìtsègèvel az o oszlopàban lèvo osszes tobbi szàmot szeretnènk kinullàzni (hogy megkapjuk az e_k-t az oszlopban), ès ahogyan az egyenlo egyutthatòk mòdszerènèl is komplett egyenletekkel szàmoltunk, ùgy a bàzistranszformàciònàl is komplett sorokkal szàmolhatunk. pèldàul ha a generàlòelem 4, ès az oszlopàban van valahol egy 6-os, akkor a 6-os sorànak a kiszàmìtàsàt megkaphatjuk a kovetkezo kèppen: megszorozzuk a generàlòelem soràt 3/2-del (mert 6/4=3/2, tehàt mert adja magàt, hogy annyival kell megszorozni), ès ezt a sort kivonjuk a 6-os soràbòl. ìgy a 6-os helyère 0 kerul, mert 6 - (4 * 3/2)=0, ès az osszes tobbi helyen a 6-os soràban pedig pontosan ugyanaz tortènik, mint a tèglalapos szabàlykor. Ahol a generàlòelem oszlopàban 2-es van pèldàul, ott meg mondhatjuk, hogy ebbol a sorbòl a generàlòelem sorànak veszem a felèt, ìgy megint kinullàzòdik a generàlòelem oszlopàban lèvo 2-es. Itt gyakorlatilag kihasznàljuk ezt a triviàlis informàciòt, amit nem ìrtàl ki ott a videò vègèn, hogy hogy kapjuk meg b vektort, ha màr benne van a bàzisban is, ès az a jò benne, hogy okè, hogy kihasznàltuk ezt, viszont elèg a "règi" tàblàzatot figyelni, az "ùj" tàblàzatba ugyanùgy nem kell kiìrni ezt az oszlopot. 4) Ha nagyon szeretnènk bent hagyni ezeket a triviàlis informàciòt tartalmazò oszlopokat, ès jò sorrendben hagyjuk ott azokat, akkor a tàblàzat kozepèn gyakorlatilag egy egysègmàtrix lesz. Olyan egyenletrendszereknèl, amiknek nincs egyèrtelmu megoldàsa, mert pèldàul sok megoldàsa van (pèldàul lehet sok megoldàsa egy egyenletrendszernek akkor, ha kevesebb egyenletunk van, mint vàltozònk), abban az esetben a tàblàzat kozepènek ugyancsak lesz egy olyan rèsze, ami egysègmàtrixnak fog kinèzni. èn egyèbkènt egy konyvbol olvastam az elemi bàzistrafòròl rèszletesen, hogy hogyan lehet lineàris egyenletrendszereket megoldani vele, viszont abban csak az volt benne, hogy milyen vektorbòl indultunk ki, a bàzisbòl kijovo vektor kifejezèse a bàzisba bemeno vektor segìtsègèvel, ès hogy mi jon ki. Ez ìgy àtlàthatatlan volt, jò, hogy itt a videòban rèszletezted a szàmìtàsokat. èn alapbòl ùgy àlltam neki a megèrtèsnek, hogy kiìrtam teljesen minden egysègvektort, minden oszlopvektort, elvègeztem a lineàris kombinàciòkbòl a kombinàciòs egyutthatòk beszorzàsàt a vektorokkal, ès a vektorok skalàris szorzatait is elkezdtem kiszàmolgatni, hogy tènyleg kijonnek-e az egyenletek jobb oldalàn lèvo szàmokbòl àllò vektor (azt hiszem). Egy konkrèt pèldàn keresztul indultam el, ès konnyebb volt felvilàgosulni, mert ahogy haladtam ezekkel a szàmìtàsokkal, làttam, hogy ezek kozul melyik rèsze mi lesz ennek a kialakulò x vektornak a bàzistranszformàciò utàn. Szorgalmazom ezt a 4-es pontban leìrt dolgot is, hogy a tàblàzatnak egy rèszèt is nèzzuk, ès hogy ezek a rèszek micsodàk valòjàban (pl. ahogy a kozèpso rèsz egy egysègmàtrix lesz). A konyv, amit olvastam, ìrt a màtrixok particionàlàsàròl (rèszekre bontàsàròl), sot, mi tobb, konkrèt muveletek ès egyenletek is voltak ezekkel a blokkokkal, partìciòkkal, amiket èn màr nem is èrtettem meg, talàn majd ezeket is egy konkrèt pèldàval nèzem meg, megkeresve az egyenletekbol, hogy mi micsoda. Az, hogy a tàblàzatbòl èszrevesszuk ezeket az egysègvektorok megfelelo sorrendjèbol àllò egysègmàtrixot (meg a tobbi blokkot), segìti szintèn megèrteni a particionàlt alakkal valò szàmolàst, meg egy kis ìzelìtot is ad belole, hogy ezekkel is vannak àm szàmìtàsok, nem ilyen egyszeru a dolog, hogy ott megàlljon a tudomàny, ami a videòban szerepelt, mert màsra is hasznàlhatò a bàzistranszformàciò, nem csak egyenletrendszerek megoldàsàra, ùgyhogy nyilvàn tovàbb is kellett bonyolìtani mèg a dolgokat, ès milyen jòl tettèk! Sajnàlom nagyon, hogy gimnàziumban nem tanìtjàk a bàzistrafòt magàt sem (nem hogy mèg az alkalmazàsai kozul nèhànyat), az egyenletrendszerek megoldàsànàl ugyanùgy tanulhatnàk ezt a mòdszert is, ès gyakorolhatnàk is, mehetne vele egyutt a Gauss-eliminàciò is, csak sajnos ez valòszìnuleg ùgy lenne megoldhatò ìgy az elmèleti hàttèrrel egyutt, tokkal-vonòval, de akkor egy egèsz tanèvben eggyel tobb heti òraszàm is kellene. Esetleg egy szakkorkènt, vagy szakkor rèszekènt lehetne ezzel foglalkozni mèg, de màr ìgy is tùl sok òràjuk van a gimiseknek, szòval kotelezokènt csak akkor lehetne, ha egyèb tàrgybòl kevesebb òràjuk lenne. Pl. ha valaki a tortènelmet utàlja tanulni, nem is hiszi el valami miatt azokat, amiket tanìtanak, rossz jegyeket is szerez, matekbòl meg jò, ès azzal is akar majd tovàbbtanulni, akkor szerintem szìvesebben bevàllalna kotelezokènt is egy ilyet hetente egy tori òra helyett hetente.
Köszönjük, Tanár úr! Nagy segítség
Örülök! Hajrá!
Nagyon jò videò!
Nekem csak a generàlò elem/pivot elem elhangzàsa hiànyzott, mint fogalom (b_k-ròl van szò).
Emellett èrdemes elgondolkodni nèhàny dolgon, akàr szòt is lehet ejteni ròluk:
1) A muvelet megnevezèse. Az "elemi" kifejezès az elemi bàzistranszformàciòbòl arra utal, hogy a speciàlis, egysègvektorokbòl àllò bàzisbòl indulunk ki (amiket megfeleloen egymàs alà vagy mellè pakolva egy E egysègmàtrixot ad ki). e_1, e_2, ..., e_n egysègvektorok àltal alkotott vektorrendszer ugyanis biztosan bàzisa L_n-nek, mivel L_n vektortèr minden vektora eloàllìthatò ezeknek a lineàris kombinàciòjàval, mèghozzà egyèrtelmuen.
2) A szàmolàsok felgyorsìtàsànak èrdekèben cèlszeru lehet kiszàmìtani az x_k/b_k hànyadost ès felìrni, mivel ez az ùj koordinàtàk (kivève a generàlò elem soràban ès oszlopàban lèvoket) meghatàrozàsakor mindenhol megjelenik (enèlkul egy 6x6-os tàblàzatban mondjuk màr lassabban menne valòszìnuleg a bàzistrafò).
3) Amikor b_k-t bevisszuk a bàzisba a_k helyère, akkor ahogy helyesen mondtad, b vektort kiìrni màr nem is cèlszeru, mert ez triviàlis informàciòt hordoz, mèghozzà azt, hogy a bàzisban lèvo a_1, a_2, ..., a_n vektorokat 0-val szorozzuk meg, b vektort pedig 1-gyel, ìgy elo is àllìtottuk b vektort a bàzisban lèvo vektorok lineàris kombinàciòjakènt. Màshogy fogalmazva b vektornak a_1, a_2, ..., a_k-1, b, a_k+1, ..., a_n vektorok àltal alkotott bàzisra vonatkozò koordinàtài azok csupa 0-k lesznek, kivève b vektor soràban, ahol 1-es lesz, ìgy gyakorlatilag az oszlopvektorok kozott b vektor helyèn olyan, mintha megjelenne a k-adik egysègvektor (e_k), ami nem igaz, de b vektor bàzisra vonatkozò koordinàtài vèletlenul pont ugyanaz lesz, mint e_k komponensei (de nem vagyok matek tanàr, ùgyhogy màr csak remèlem, hogy jòl hasznàlom itt a szavakat, alapbòl is nèha zurzavart okoz, hogy mi koordinàta, ès mi komponens, ràadàsul itt nem csak sima koordinàtàkròl beszèlunk, hanem bàzisra vonatkozò koordinàtàkròl. Szòval elnèzèst, ha rosszul hasznàltam a szavakat). (Itt zàròjelben megjegyzem, hogy amìg mèg a speciàlis, egysègvektorokbòl àllò bàzisbòl az egyik egysègvektort, a k-adikat pèldàul, szeretnènk kicserèlni b vektorra, akkor konkrètan b ès e_k kicserèlodnek egymàsra.) Emiatt van egy màsik megkozelìtès is a szàmìtàsok elvègzèsère, mèg pedig az, hogy a generàlò elem segìtsègèvel az o oszlopàban lèvo osszes tobbi szàmot szeretnènk kinullàzni (hogy megkapjuk az e_k-t az oszlopban), ès ahogyan az egyenlo egyutthatòk mòdszerènèl is komplett egyenletekkel szàmoltunk, ùgy a bàzistranszformàciònàl is komplett sorokkal szàmolhatunk. pèldàul ha a generàlòelem 4, ès az oszlopàban van valahol egy 6-os, akkor a 6-os sorànak a kiszàmìtàsàt megkaphatjuk a kovetkezo kèppen: megszorozzuk a generàlòelem soràt 3/2-del (mert 6/4=3/2, tehàt mert adja magàt, hogy annyival kell megszorozni), ès ezt a sort kivonjuk a 6-os soràbòl. ìgy a 6-os helyère 0 kerul, mert 6 - (4 * 3/2)=0, ès az osszes tobbi helyen a 6-os soràban pedig pontosan ugyanaz tortènik, mint a tèglalapos szabàlykor. Ahol a generàlòelem oszlopàban 2-es van pèldàul, ott meg mondhatjuk, hogy ebbol a sorbòl a generàlòelem sorànak veszem a felèt, ìgy megint kinullàzòdik a generàlòelem oszlopàban lèvo 2-es. Itt gyakorlatilag kihasznàljuk ezt a triviàlis informàciòt, amit nem ìrtàl ki ott a videò vègèn, hogy hogy kapjuk meg b vektort, ha màr benne van a bàzisban is, ès az a jò benne, hogy okè, hogy kihasznàltuk ezt, viszont elèg a "règi" tàblàzatot figyelni, az "ùj" tàblàzatba ugyanùgy nem kell kiìrni ezt az oszlopot.
4) Ha nagyon szeretnènk bent hagyni ezeket a triviàlis informàciòt tartalmazò oszlopokat, ès jò sorrendben hagyjuk ott azokat, akkor a tàblàzat kozepèn gyakorlatilag egy egysègmàtrix lesz. Olyan egyenletrendszereknèl, amiknek nincs egyèrtelmu megoldàsa, mert pèldàul sok megoldàsa van (pèldàul lehet sok megoldàsa egy egyenletrendszernek akkor, ha kevesebb egyenletunk van, mint vàltozònk), abban az esetben a tàblàzat kozepènek ugyancsak lesz egy olyan rèsze, ami egysègmàtrixnak fog kinèzni.
èn egyèbkènt egy konyvbol olvastam az elemi bàzistrafòròl rèszletesen, hogy hogyan lehet lineàris egyenletrendszereket megoldani vele, viszont abban csak az volt benne, hogy milyen vektorbòl indultunk ki, a bàzisbòl kijovo vektor kifejezèse a bàzisba bemeno vektor segìtsègèvel, ès hogy mi jon ki. Ez ìgy àtlàthatatlan volt, jò, hogy itt a videòban rèszletezted a szàmìtàsokat. èn alapbòl ùgy àlltam neki a megèrtèsnek, hogy kiìrtam teljesen minden egysègvektort, minden oszlopvektort, elvègeztem a lineàris kombinàciòkbòl a kombinàciòs egyutthatòk beszorzàsàt a vektorokkal, ès a vektorok skalàris szorzatait is elkezdtem kiszàmolgatni, hogy tènyleg kijonnek-e az egyenletek jobb oldalàn lèvo szàmokbòl àllò vektor (azt hiszem). Egy konkrèt pèldàn keresztul indultam el, ès konnyebb volt felvilàgosulni, mert ahogy haladtam ezekkel a szàmìtàsokkal, làttam, hogy ezek kozul melyik rèsze mi lesz ennek a kialakulò x vektornak a bàzistranszformàciò utàn. Szorgalmazom ezt a 4-es pontban leìrt dolgot is, hogy a tàblàzatnak egy rèszèt is nèzzuk, ès hogy ezek a rèszek micsodàk valòjàban (pl. ahogy a kozèpso rèsz egy egysègmàtrix lesz). A konyv, amit olvastam, ìrt a màtrixok particionàlàsàròl (rèszekre bontàsàròl), sot, mi tobb, konkrèt muveletek ès egyenletek is voltak ezekkel a blokkokkal, partìciòkkal, amiket èn màr nem is èrtettem meg, talàn majd ezeket is egy konkrèt pèldàval nèzem meg, megkeresve az egyenletekbol, hogy mi micsoda. Az, hogy a tàblàzatbòl èszrevesszuk ezeket az egysègvektorok megfelelo sorrendjèbol àllò egysègmàtrixot (meg a tobbi blokkot), segìti szintèn megèrteni a particionàlt alakkal valò szàmolàst, meg egy kis ìzelìtot is ad belole, hogy ezekkel is vannak àm szàmìtàsok, nem ilyen egyszeru a dolog, hogy ott megàlljon a tudomàny, ami a videòban szerepelt, mert màsra is hasznàlhatò a bàzistranszformàciò, nem csak egyenletrendszerek megoldàsàra, ùgyhogy nyilvàn tovàbb is kellett bonyolìtani mèg a dolgokat, ès milyen jòl tettèk! Sajnàlom nagyon, hogy gimnàziumban nem tanìtjàk a bàzistrafòt magàt sem (nem hogy mèg az alkalmazàsai kozul nèhànyat), az egyenletrendszerek megoldàsànàl ugyanùgy tanulhatnàk ezt a mòdszert is, ès gyakorolhatnàk is, mehetne vele egyutt a Gauss-eliminàciò is, csak sajnos ez valòszìnuleg ùgy lenne megoldhatò ìgy az elmèleti hàttèrrel egyutt, tokkal-vonòval, de akkor egy egèsz tanèvben eggyel tobb heti òraszàm is kellene. Esetleg egy szakkorkènt, vagy szakkor rèszekènt lehetne ezzel foglalkozni mèg, de màr ìgy is tùl sok òràjuk van a gimiseknek, szòval kotelezokènt csak akkor lehetne, ha egyèb tàrgybòl kevesebb òràjuk lenne. Pl. ha valaki a tortènelmet utàlja tanulni, nem is hiszi el valami miatt azokat, amiket tanìtanak, rossz jegyeket is szerez, matekbòl meg jò, ès azzal is akar majd tovàbbtanulni, akkor szerintem szìvesebben bevàllalna kotelezokènt is egy ilyet hetente egy tori òra helyett hetente.
matufika Köszönöm a hozzászólást!