C'est une équation réciproque du 6ème degré en a (coefficients équidistants des extrêmes égaux si on ordonne). On résout classiquement comme ici en posant x = a + (1/a) et on obtient une équation du 3ème degré en x. Ensuite on espère une solution évidente en x, sinon Cardan...
(a+1/a)^2=a^2+1/a^2+2, so a^2+1/a^2=(a+1/a)^2-2. (a+1/a)^3=a^3+1/a^3+3(a+1/a), so a^3+1/a^3=(a+1/a)^3-3(a+1/a) Thus, (a+1/a)+(a^2+1/a^2)+(a^3+1/a^3)=(a+1/a)+(a+1/a)^2-2+(a+1/a)^3-3(a+1/a)=28. Rearrange this equation to: (a+1/a)^3+(a+1/a)^2-2(a+1/a)-30=0; Substitute b=a+1/a: b^3+b^2-2b-30=0 has positive root b=3. a+1/a=b=3, so a^2-3a+1=0 yields a=(3±√5)/2 and (2a-3)^2=(±√5)^2=5.
C'est une équation réciproque du 6ème degré en a (coefficients équidistants des extrêmes égaux si on ordonne). On résout classiquement comme ici en posant x = a + (1/a) et on obtient une équation du 3ème degré en x. Ensuite on espère une solution évidente en x, sinon Cardan...
(a+1/a)^2=a^2+1/a^2+2, so a^2+1/a^2=(a+1/a)^2-2. (a+1/a)^3=a^3+1/a^3+3(a+1/a), so a^3+1/a^3=(a+1/a)^3-3(a+1/a)
Thus, (a+1/a)+(a^2+1/a^2)+(a^3+1/a^3)=(a+1/a)+(a+1/a)^2-2+(a+1/a)^3-3(a+1/a)=28. Rearrange this equation to:
(a+1/a)^3+(a+1/a)^2-2(a+1/a)-30=0; Substitute b=a+1/a: b^3+b^2-2b-30=0 has positive root b=3.
a+1/a=b=3, so a^2-3a+1=0 yields a=(3±√5)/2 and (2a-3)^2=(±√5)^2=5.