TU DOIS CONNAÎTRE CETTE ASTUCE ! - MATHS OLYMPIADE RUSSIE

Nous allons raisonner autour de cette question posée lors des Olympiades de mathématiques en Russie : est-ce que 50^50 est plus petit ou plus grand que 49^51 SANS CALCULATRICE ! Envoie-moi ta candidature pour que je t'accompagne entièrement et individuellement sur ta méthodologie et ton parcours en maths 👨‍🏫 : forms.gle/1TyJ...
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[@timothey__]

C'est vraiment excellent, merci beaucoup. Étant en début de terminale, je n'ai cependant jamais entendu parler de la limite de l'exponentiel !

[@EthanTURINGS]

Merci beaucoup à toi pour ton retour et ton commentaire !

[@chimondavidnaouri6762]

La comparaison de 50^50 et de 49^51, est équivalente à celle de 50^(1/51) et de 49^(1/50) (pour transformer l'une en l'autre, il suffit de mettre à la puissance 1/(50×51))
Ensuite on peut encore transformer les termes en passant au logarithme(les deux nombres sont positifs). Ça se transforme en une comparaison entre ln(50)/51 et ln(49)/50. Il s'agit alors de savoir si la fonction ln(x)/(x+1) est croissante ou décroissante. Pour cela il suffit d'étudier le signe de la dérivée. La dérivée c'est ((x+1)/x-ln(x))/(x+1)². Le dénominateur est un caré, il est donc forcément positif. Au numérateur on a (x+1)/x-ln(x)=1+1/x-ln(x). 1/x tant vers 0. 1 ne bouge pas. Et -ln(x) tant vers -l'infini. Donc quand x est suffisamment grand, la dérive est négative et la fonction est décroissante. Déjà quand x=3 on a la dérivée qui est égal a 1+1/3-ln(3)≈0,23>0 à plus forte raison pour x=49 et x=50. En remontant les équivalences vers le début du raisonnement on trouve 49^51>50^50

[@EthanTURINGS]

Hey ! C’est aussi une idée intéressante et comme dit, il existe pleins d’autres résolutions possibles, ce que j’ai abordé n’est pas l’unique méthode, elles sont toutes intéressantes et d’ailleurs merci du partage ! Ça fait plaisir de voir la communauté s’investir !

[@chimondavidnaouri6762]

@@EthanTURINGS j'ai fait une erreur "quand x=3 on a 1+1/3-ln(3)≈0,23>0" le but était que la dérivée soit négative, donc que 1+1/x-ln(x) soit inférieur à 0 et non pas supérieur a 0. Du coup 3 n'est pas assez grand. Mais on peut trouver un x qui soit assez grand et en déduire qu'à plus forte raison pour x=49 ou 50, la dérivée est négative.

[@chimondavidnaouri6762]

​@@EthanTURINGS merci avec plaisir 🙂👍

[@maherelboghdady5482]

La méthode est cool mais on peut aussi faire (50/49*49)^50 et déduire que le quotient est entre 0 et 1 puisque 49*49>50 ? D'où 49^51>50^50

[@weeqzey5521]

Ca peut pas etre vrai ce que t’as ecrit pcq (49*49)^50 c’est pas egal a 49^51 mais a 49^100

[@maherelboghdady5482]

@@weeqzey5521 Ah ouais j'avoue, mais du coup on peut écrire que (1/49) *(50/49)^50 c’est le produit de deux nombres compris entre 0 et 1, qui donne bien un nombre toujours compris entre 0 et 1, et donc que le dénominateur du calcul 50^50/49^51 est plus grand que le numérateur

[@EthanTURINGS]

Yes mais 50/49 n’est pas compris entre 0 et 1, il manque des explications, on peut malheureusement pas conclure aussi rapidement 👉👈 !

[@maherelboghdady5482]

@@EthanTURINGS mdr oui j'avais pas fait gaffe, on va éviter les maths pendant la nuit

[@antoinegrassi3796]

Une présentation sympa.
Il ne me paraît pas inutile, pour généraliser, de rappeler que dans tout exercice qui consiste à comparer deux grandeurs A et B, on doit partir de l'idée :
A > B A - B > 0 A / B > 1 si B positif, idem avec

[@marcgriselhubert3915]

Le fait que (1 +1/49)^49 soit inférieur à e, et donc à 3, provient du fait que (1 + 1/n)^n tend vers e quand n tend vers +infini, EN CROISSANT (ce qui n'est d'ailleurs pas immédiat à montrer).

[@EthanTURINGS]

Oui clairement, c’est ce dont je fais mention dans la vidéo ! Quant à la démonstration, si ça intéresse du monde je pourrais le faire en vidéo

[@maces1]

Vraiment sympa mais si on veut chipoter il faudrait prouver que 49x16 > 50.

[@EthanTURINGS]

Oui c’est clair, mais on pourrait dire que 49*16>49*10=490 et 50

[@yugo-b1]

La russie vous remercie monsieur, étant moi même star russe je suis chokbar de la limite de l'exponentiel

[@EthanTURINGS]

Merci à toi !

[@chadighalem4893]

pourquoi ne pas simplement utiliser les congruences ?

[@EthanTURINGS]

Comme dit en vidéo, il n’y a pas qu’une seule résolution, j’ai voulu passer par ce chemin là mais il en existe en effet d’autres

[@AyanokojivsLight]

J’aime bien

[@EthanTURINGS]

Merci beaucoup ! Ça fait plaisir !

[@Josue_Arango]

Bonne vidéo

[@EthanTURINGS]

Je te remercie beaucoup !

[@SezTy_]

First

[@EthanTURINGS]

Regardez qui voilà !