"L'inégalité de gradient" est un terme qui peut être utilisé dans différents domaines, mais il est souvent associé à la théorie des inégalités en analyse fonctionnelle et en optimisation convexe. L'inégalité de gradient stipule généralement que la pente (ou le gradient) d'une fonction convexe est un majorant linéaire de la fonction elle-même.
Plus précisément, si f est une fonction convexe différentiable définie sur un ensemble convexe dans un espace euclidien, alors pour tout point x et y de cet ensemble, l'inégalité de gradient est donnée par :
f(y) ≥ f(x) + ⟨∇f(x), y - x⟩
Où ∇f(x) est le gradient de f au point x, et ⟨∇f(x), y - x⟩ est le produit scalaire entre le gradient de f en x et le vecteur y - x. Cette inégalité indique que la valeur de la fonction f en un point y est toujours plus grande ou égale à la valeur de la fonction en un point x plus le produit scalaire entre le gradient de f en x et le vecteur y - x.
Cette inégalité est fondamentale en optimisation convexe et est souvent utilisée pour établir des propriétés et des résultats dans ce domaine. Elle fournit également une interprétation géométrique importante des fonctions convexes.
@DRISS_ABATOUR5258