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簡単な部類

右辺もX=-1を解に持つことは瞬時に分かるから因数分解できるが、因数定理だから高校入試ではダメなんだろうなぁ

整数問題の基本問題　(2n^2+246)/(n^2+1) が平方数であるから，(2n^2+246)/(n^2+1) は整数 2n^2+246=(n^2+1)*2+244 より (2n^2+246)/(n^2+1)=2+244/(n^2+1) 244/(n^2+1) が整数より n^2+1 は 244 の約数 (244 は n^2+1 の倍数) 244 の正の約数は 1,2,4,61,121,244 で n^2+1>1 より n^2+1=2,4,61,121,244 この中で n が正の整数となるのは n=1,11 で 2+244/(n^2+1)=122 , 4 より n=11

大学入試はムズすぎる❤中学入試は物足りない❤高校入試こそちょうどいい❤

平方完成 x^4+10x^3+9=(x^2+5x)^2-25x^2+9 だよ A=x^2+5x とおくと (A+4)(A+6)=A^2-25x^2+9 <=> 10A+24=-25x^2+9 <=> 10x^2+50x+24=0

私立って対称式ってやるんだね

ちょうどいい復習

暗算チャレンジ成功❗

バカワイ 「17×17が出来ません」

9a-6b+5ab-3a²-2b² =3(3a-2b)-(3a²-5ab+2b²) =3(3a-2b)-(a-b)(3a-2b) =-(3a-2b)(a-b-3)

思いっきり間違えた・・・ こういう問題は苦手です(^^;)

暗算チャレンジ成功❗

ずいぶん昔の問題に今さらコメントして申し訳ないですけど、近似値とか使うと計算ややこしくなるんじゃないかな・・・ 特に今回の問題は、けっこうギリギリの値みたいですしね。 2＜√7＜3、　4 ＜√19＜5 なので、6＜(√7＋√19)＜8とわかる。 つまり、(√7＋√19)と7の大小関係を調べればよい。 双方2乗して、 (√7＋√19)²＝26+2√133、　7²＝49 なので、さらに2√133と23の大小関係を調べる。 (2√133)²＝532、　23²＝529 なので、2√133>23 よって、(√7＋√19)>7 8>(√7＋√19)>7なので、(√7＋√19)の整数部分は7 冒頭のとおり「(√7＋√19)と7の大小関係」にまとめるだけで、計算がけっこう楽になりますよ。

これに加えて、「この試行でつくれる６の倍数すべての和を求めよ」みたいな問題あると面白いですね。

暗算チャレンジ失敗❗ 何か（2）（3）間違えたぞ❗

（3）だけ解答しますよ～…6＝2×3だから，6の倍数は，2の倍数かつ3の倍数だから，１の位を0，2，4にしてそれぞれ考え，全部書き出してみる。100の位の数字をX，10の位の数字をY，1の位の数字をZと置くと（X，Y，Z）＝（1，2，0）（2，1，0）（1，5，0）（5，1，0）（2，4，0）（4，2，0）（4，5，0）（5，4，0）（1，3，2）（3，1，2）（3，4，2）（4，3，2）（1，0，2）（4，0，2）（2，0，4）（5，0，4）（5，3，4）（3，5，4）（2，3，4）（3，2，4）……書き間違えていなければ，この20通りが答えとなりますね～高々0から5までの６個の数字で，しかも0が入っているから落ち着いて漏れる事なく一つ一つ潰していけば，答えに辿り着く！

63段目の右端のanのnの値は2016であり、 64段目の左端のanのnの値は2017ではないでしょうか？

暗算チャレンジ失敗❗ （2）勘違い‼️ 整数剰余と群数列を組み合わせた面白い問題ですね。 中学生でも解ける範囲で難易度を上げる工夫が凝らされていますね。 累乗の説明を添えれば中学入試でも出題出来るかも？

これは(2a-b)^2がすぐに見えたのですんなりいけました｡

暗算チャレンジ失敗❗ 変な事やっちゃった‼️

ax² + bx + c = 0の2つの解の比がαとβ、ｘの２乗の係数がaなので、 与式＝a (ｘ-α) (ｘ-β)となる。 これを展開すると、aｘ² - a (α+β)ｘ+ aαβとなる。 ｘの１乗の係数よりb = - a (α+β)、よってα+β= - b/a 定数項よりc = aαβ、よってαβ= c/a これは解と係数の関係の基礎知識ですよ～ 解の公式から導くのは、計算の練習としては面白いと思いますが、 本番でやったら点数を貰えるかどうか・・・

f ( x ) = ( √5 +√3 ) x² + 2√3x -√5 + √3　とすると、 f ( -1 ) = √5 +√3 - 2√3 -√5 +√3 = 0　なので、 f ( x ) = 0 は x = -1 を解に持つ。（つまり ( x + 1) で因数分解できる） 因数分解はちょっと面倒ですが、片方が( x + 1)とわかっていればできなくはないので、 そこは頑張ってもらって・・・ｗ 与式 = ( x + 1) ((√5 +√3 ) x -√5 +√3 ) = 0 これを解くと、x = -1、4 -√15 になります。 因数定理を使いましたが、高校入試では使ったらダメなやつなんでしたっけ？

［天才として生まれてくる事が出来なかったならば，努力する天才になればいい！ただそれだけですよ！…笑…］能書きはこれぐらいにして本題に…与式の両辺に，（√5－√3）/2を掛けて整理すると，（Xの2乗）＋（√15－3）X－4＋√15＝0…①とする！掛けて，－4＋√15，足して，√15－3となる２つの数は，1と－4＋√15…だから，①より（X＋1）×（X－4＋√15）＝0…従って求める答えは…X＝－1，4－√15となる！

与えられた2次方程式の両辺に√3を掛けて (3+√15)xx+6x+(3-√15)=0. これでx=-1が解の一つだと容易に気づくので、この因数が出るようにたすき掛けして (x+1)((3+√15)x+(3-√15))=0. あとは省略〜😊

暗算チャレンジ成功❗

暗算チャレンジ成功❗ 大変だ❗

解答（1）与式を展開すると，（ａの2乗）×（ｂの2乗）－4×（ａの2乗）＋4ａｂ－（ｂの2乗）＝［（ａｂの）2乗］－［（2ａ－ｂ）の2乗］＝（ａｂ＋2ａ－ｂ）×（ａｂ－2ａ＋ｂ）…となる！解答（2）先にａについて整理してたすき掛けをやって解いた人がいるので，ｂについて整理してたすき掛けで解く！与式をｂについて整理すると（ａ＋1）×（ａ－1）×（ｂの2乗）＋4ａｂ－4×（ａの2乗）＝［（ａ＋1）×ｂ－2ａ］×［（ａ－1）×ｂ＋2ａ］＝（ａｂ－2ａ＋ｂ）×（ａｂ＋2ａ－ｂ）となる！

a（またはb）について整理で難なく…。 展開は最低限に留めます😊 (b+2)(b-2)aa-(b+2)(b-2)+4ba-4 =(b+2)(b-2)aa+4ba-bb =((b+2)a-b)((b-2)a+b) =(ab+2a-b)(ab-2a+b).

暗算チャレンジ成功❗ メンドイなぁ。

与式= (x-4)(x+3)(x-2)(x+1)+24 =(x²-x-12)(x²-x-2)+24 ここで（x²-x-7）=tとすると 与式=(t-5)(t+5)+24 =t²-25+24 =t²-1 =(t-1)(t+1) =(x²-x-8)(x²-x-6) =(x²-x-8)(x-3)(x-2)

(a+b+c+d)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)(c+d) + (c+d)^2 及び (rta + rtb)^2 = a+b+2rt(ab) 参考までに(rta - rtb)^2 = a+b-2rt(ab) これを理解していれば力技で解けなくもないですが....計算ミスしやすいか.....。

二次方程式2x²-7x+a＝0_①の 実数tを用いて二つの解は x=3t、4tと表すことができる これらをそれぞれ①のxに代入して、 18t²-21t+a=0_② 32t²-28t+a=0_③ ③-②より 14t²-7t=0 7t(2t-1)=0 t=0は不適なのでt=1/2 ①の一つの解は x=4*(1/2)=2 ①にx=2を代入して 8-14+a=0 a=6

この問題，前項，後項を2乗するんじゃなくて，掛け算の形にして，（ａの2乗）×（ｂの2乗）＝［（ａｂの）2乗］で計算した方が楽でしたよ～笑…

暗算チャレンジ成功❗ へぇ～、くたびれた。

log2（底は3）＝ａ（＞0）と置くと，与式＝（ａ＋ａ）×（2/ａ＋1/2ａ）＝2ａ×5/2ａ＝5でfinishです…笑…

自然数に訂正された笑笑

暗算チャレンジ成功❗ 中学生の頃なら出来ただろうか？

x=4-8√15 (これは合っててくれ…)

74745-44064√2+5495√10+1980√15/244377 ？ (こんなに大きいはずないw絶対どこか間違ってるw) 解説楽しみにしてます。

暗算チャレンジ微妙に失敗❗ x<yを忘れてた‼️

他の数でもいいところ、あえて119にしてある意味があると仮定して右辺に移項して引き算するのではなく割り算したら。 2022÷119を筆算すると1足りなくて割りきれない。2023なら割りきれて17となる。 両辺に1足して2023にする。 xy-x-y+119+1=2023 x,yでまとめる。 (x-1)(y-1)+119=2023 119で式全体を割る。 (x-1)(y-1)/119+1=17 あとはだいたい同じ。 (x-1)(y-1)は119(=7*17)で割りきれて16(=2*2*2*2)になる必要がある。 つまり(x-1)(y-1)の素因数分解は2が4個、7と17が1個ずつ。 x,yが正の奇数からx-1とy-1は0または正の偶数。0では式が成立しないので正の偶数。 したがってx-1,y-1の素因数分解はそれぞれ2が1個以上あり、x<yの条件がないとき、x-1,y-1に残りの素数２個の2の分け方が３通り、7と17の分け方が2×2=4通りで全部12通り。 素数7,17が１個ずつしかないからx=yとなることはないので、x<yの条件を満たすのは半分の6通り。

X－1＝Ａ，Y－1＝Ｂと置くと，Ａ，Bは共に正の偶数で，Ａ＜Ｂの時，ＡＢ＝（2の4乗）×7×17に帰着される…条件から，場合分けの数は，そんなに多くはならない事はすぐ分かるし，一つ一つつぶして解いていく事になりますから，誰が解いても同じような感じになりますよね～？別解があればお願いします…みたいな事が書いてありましたが無いと思いますが～何かありましたか？先生らしくないですね～（この問題に特別なこだわりでも？）

( x-1 )( y-1 ) = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 17 ここまではみんな同じやり方になると思いますが、 そこからいきなり( 2 , 952 ) ( 4 , 476 ) ( 8 , 238)・・・とやってしまっては、大幅減点くらうと思いますよ。 そこの計算過程も見られる出題だと思いますので。

条件式を変形するところまでは同じ。 x,yは正の奇数だからx=2m-1,y=2n-1と置く。m,nは非負整数でありx<yよりm<n。 これらを代入して (2m-2)(2n-2)=1904, (m-1)(n-1)=476. 476=2²×7×17であるからこの数の正の約数の個数は (2+1)×(1+1)×(1+1)=12. これよりともに正の整数である(x,y)に対応する(m,n)の組は12組。 m<nを満たすものはこの半数で6組。

暗算チャレンジ成功❗

これは基礎力ない人にはかなり厳しいかもしれないが、難関高校受ける人は必ず正解してほしい問題かな

他の方の指摘にもありました通り、記述式の問題ならｘｙｚ＝± 12√10 と書かれていなければ減点対象ですね。 もっとも、最終的な答えは同じになるのですが。 わざわざ2乗の合計を答えろと出題してくれているあたり、この問題は計算結果だけを答えさせる問題だったかもしれませんね。

119の無理矢理感w

この問題，暗算で終わりましたけど，別解として，遠回りしても解いてみました！①より，X＝Y＋√5…③とします！③を②に代入して整理すると，2√5Y＝10＝2√5×√5…従って，Y＝√5…この時，③より，X＝√5＋√5＝2√5…故に求める答えは…X＝2√5，Y＝√5…となります！

暗算チャレンジ成功❗