Відео

Про комплексные числа я ничего подобного не видел. Полагаю, это будет сложнее. Манипуляции с комплексными числами предполагают определённую подготовку слушателей, что в свою очередь сильно ограничит возможности фокусников. По поводу изложения теории расходящихся рядов, не могу не согласиться. С другой стороны, а зачем? Это будет сложнее и не так весело. К тому же это не формат видео, а скорее серии лекций или даже книги. А при внимательно прочтении, придёт понимание, что "песня совсем не о том".

@@kvadromir да лан. Например: -1 = i² = √-1•√-1 = √((-1)(-1)) = √1 = 1

А то, что в видео нигде не говорится о p-адических числах. Поправьте, если я ошибаюсь. Как и в предыдущих видео речь идёт о натуральных числах и их обычной арифметической сумме. 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10; и т.д. Как можно заметить 1< 1+2 < 1+2+3 < 1+2+3+4 < ... . На каком именно шаге у суммы должны появиться неадекватные свойства уменьшения или отрицательности?

@@kvadromir как я уже говорил, можно взять такой вариант: n•exp(-n ε)•cos(n ε), где ε>0, сколь угодно малая но фиксированная. Будет вам и 1, и 1+2, и 1+2+3, но на беск. будет -1/12. Кстати, я просил вас посчитать этот предел (сам не пробовал). Причем, равно и стремится в анализе одно и тоже, поэтому возражение что это не 1+2+3... не работает. Ну если вы еще спросите, почему именно такие exp и cos, ответ - чтоб соотв. базису n^x.

@@dmitryramonov8902 Если взять, к примеру, 10^1=10. Далее 10^(1+2)=10^1*10^2=10*100=1000, 10^(1+2+3)=10*10^2*10^3=10*100*1000=1000000. Я хочу сказать, что при умножении на 10 в целой степени, полученное произведение заканчивается нулями. Так? Так. Сумма целых чисел -- это целое число. И вот получается, что 10^(1+2+3+4+...)=10*100*1000*10000*...=0,8254.... Это же противоречит всей арифметике, лежащей в основе математики.

@@kvadromir нормально все, не зря там cos стоит, при любом ε найдется такое n, что cos(εn) может быть отрицательным.

@@dmitryramonov8902 Мне всегда казалось, что вещественные числа определяются через натуральные, а не наоборот. А тут, что получается?

Да, но чтоб раскрыть бесконечность идут дальше и роют тоннель: x-2x=1/2, x=-1/2

Это знакочередующийся ряд, не имеющий к рассматриваемым рядам никакого отношения.

@kvadromir как не имеет? А ряд 1-1+1-1... не знакочередующийся разве? Ряд для ln(1+x) для x вне (-1,1] расходится. Ну и для x=5 уж тем более расходится.

@@dmitryramonov8902 Расходится, я же об этом и говорю. Если написать программу, прибавляющую на каждом шаге очередной член ряда, будет ли она при любом количестве шагов давать значение, близкое к ln(6)? Не думаю.

@@kvadromir Конечно не будет, ряд расходящийся. Но если усложнить программу совсем чуть-чуть (есть много способов), будет сходиться к ln 6 как и положено для суммы расходящегося ряда. Проще говоря, не тупо складывать, а складывать с некоторыми весами, которые обеспечивают сходимость.

@@dmitryramonov8902 Усложнить алгоритм, а не программу, точнее изменить определение суммы ряда. Это будет какая-то иная характеристика ряда -- не сумма в классическом понимании. У неё и название традиционно другое. Именно об этом я и говорю на протяжении уже второго видео и в ответах на комментарии к ним.

Особые точки есть, а суммы есть только у сходящихся.

Да кто спорит? Я лишь говорю, что суммы в привычном понимании у расх. рядов нет. Называйте это как хотите, но это не та сумма ряда в традиционном понимании. Я лишь призываю к точности формулировок, не сколько не пытаясь подвергать сомнению какие либо теории. Опять ВПН не стабилен.

@kvadromir модуль вещественного и модуль комплексного? Первые упорядочены, вторые нет. Совсем разные модули, а слово одно.

@@dmitryramonov8902 Нет никакой принципиальной разницы между модулем комплексного числа и модулем вещественного числа. По сути - это одно и тоже. В обоих случаях модуль есть расстояние до нуля. А во-вторых, у них и названия разные. Один называется модулем вещественного числа или абсолютной величиной, а другой модулем комплексного числа. Упорядоченность соответствующих множеств каким боком должна влиять на название? Стоимость товара и стоимость услуг есть стоимость и это деньги, как правило. В обоих случаях стоимость есть стоимость несмотря на то, что товар и услуги принципиально разные сущности. С суммой не так.

@@kvadromir алгоритмом отличаются. Для вещественных алгоритм такой: если x<0 то возьми -x. Комплексное с нулем сравнить нельзя, и минус ставить бесполезно. Алгоритм другой. Так и для рядов - сумма это стационарная точка. Если стационарная точка притяжения бесконечность, возьми точку убегания. Все тоже самое. Или, примени метод, чтоб ряд сходился к точке убегания.

@@dmitryramonov8902 Это один из алгоритмов. Можно просто расстояние вычислить и в том, и в другом случае. Сумма - это сумма, а никакая не стационарная точка или точка убегания. Одно понятие может интерпретироваться через другое, но не может исчерпываться им.

Тут считать нечего, ряд расходится по любому из признаков, включая необходимое условие сходимости. То, о чём вы пишете, это не сумма ряда, да и вообще не сумма в её обычном классическом понимании, а нечто иное, а я говорю об обычной сумме ряда, ибо я критикую как раз такой вульгарный подход, то есть именно нелепость применения к расходящемуся ряду представления об обычной арифметической сумме, который сплошь и рядом демонстрируется в Интернете.

@kvadromir с этим полностью солидарен, это не решается обычной арифметикой а в тех ситуациях когда получается какой-то результат он приводит к парадоксам и является ошибкой либо зная результат подгоняют под него решение по типу перестановки слагаемых что даже для некоторых сходящихся рядов нельзя делать

@@pro_faitex___5153 Совершенно точно.

@@pro_faitex___5153 почему не решается? Трансформация эйлера суммирует как сходящиеся, так и расходящиеся, ей пох. Самая обычная арифметика.

Чаще нули убирать можно, но тут нельзя. Знать надо, когда можно и когда нельзя.

Там двойка, а не 4. Корень забыл поставить. Она сократилась при делении на 2.

Нет, не кажется. Я вообще не использую в видео гиперболические синусы и косинусы.

@kvadromir согласен, это я немного подзабыл. Уже полистал литературу и освежил знания. 🤝

@@МихаилСенников-щ3ч бывает.

Смешно невероятно! Спасибо,..

Вкратце да, можно и так.

Назвать можно и суммой, но я повторюсь, это не та сумма.

@kvadromir степень тоже бывает целая, бывает рациональная, бывает комплексная - но это же степень. Мы ведь не используем другое слово.

@@dmitryramonov8902 Это так. Степень какой бы она не была, обладает рядом свойств, которые позволяют идентифицировать её как степень. Но если кто-то скажет, что 2 в степени бесконечность равно минус корень из 1/17, мы, разумеется, не согласимся. Тоже и в случае с суммой. Сумма также обладает рядом свойств, которые позволяют идентифицировать её как сумму, если нет мы будем вынуждены придать её другое название.

Мышкой так вряд ли можно написать. Это специальная ручка с планшетом.

Благодарю! Может как-нибудь в следующем году уже.

Вот, первый человек, который разбирается!!

0+0+0+0+.....=0. Разве нет?

@@kvadromir да. Но 1-1+2-2+3-3... уже не ноль.

@@dmitryramonov8902 Конечно, не ноль. У этого ряда нет суммы.

@@dmitryramonov8902 Спасибо за комплимент. Вообще, математика - универсальное эсперанто. В любых спорных вопросах всегда найдётся консенсус! Даже с инопланетянами...

А почему бы Вольфраму не соврать? Как любой искусственный интеллект, Вольфрам создан людьми, а люди иногда врут. Вот он и унаследовал эту привычку от людей. Это, конечно, шутка. А если серьёзно, он же не придумывает ничего от себя, как спросили и что в него вложили, то он и говорит.

Именно НОЛЬ! А набери ряд: 1+0+0+1+0+0+1+0+0+1+0+0+1+.0+...

@@АнатолийПопов-ь5й 1/6 говорит

@@dmitryramonov8902 Для меня это очень удивительно! Так "1/6" получил чисто аналитическим путём. Вообще удалось получить формулу для суммы ряда с любым количеством единиц и нолей в периоде. Например: (1+1+0+0+0)+ 1+1+0+0+0+1+1+0+0+0+... = 2/5 В скобках здесь повторяющийся бесконечно период "1+1+0+0+0"

@@АнатолийПопов-ь5й удаляет ютюб мои ответы...

Спасибо Вам, что смотрите и комментируете. Мы говорим, как я это понимаю, немного о разном. В данном видео, как и во многих других, которые подразумеваются в нём, речь идёт об обычном сложении и о рядах в их, так сказать, каноническом понимании (Коши, Д'Аламбер и иже с ними). Ваш волюнтаризм, при котором, для каждого ряда определяется, как его складывать, мол этот ряд сложим так, а другой этак, я могу принять, но это другое. Там другие обозначения и другое понимание суммы. Когда же пишут 1+2+3+…=-1/12 имеют ввиду именно обычное сложение 1+2=3, 3+3=6 и т.д. и именно этим стараются удивить телезрителя - необычностью получаемого результата, при котором всё возрастающая последовательность вдруг, как по мановению волшебной палочки, превращается в маленькое число, да ещё и отрицательное, и который в таком контексте выглядит как подлинное чудо. Если же представить специфические определения для суммы расходящегося ряда, с применением наукоёмких и новомодных математических методов, показать, как расписать это всё с интегралами и прочими супер плюшками, то никакого чуда для публики не будет, и боюсь, публика заскучает. То есть, по сути, показывается фокус, который я и пытаюсь разоблачить в данном видео и в видео предыдущем. Но я ничего не имею против современной математики, поскольку знаком лишь с крохотной частью математики классической.

@kvadromir ряд 1+1+1... тоже можно через простой фокус просуммировать. Но сначала нужно показать, что метод суммирования, который применяли для 1-1+1-1.. для него не работает, т к получили противоречивый результат или бесконечность. А правильный фокус про ряд 1+1+1... который однозначно дает -1/2, вы не показали. И простой предел, который ведет к -1/2, вы тоже не показали.

@@dmitryramonov8902 я показал это с точки зрения обычного арифметического складывания, которое для расходящихся рядов, как я это понимаю, неприемлемо. Именно, потому, что это приводит к противоречиям.

​​​@@kvadromirага. А ещё нельзя возводить в иррациональную степень, пользуясь "арифметикой". В примере p-адические числа используются. Они совсем слегка выходят за рамки школьной программы. Поэтому это не "фокусы", а чуть более высшая математика, чем вам доступно. Кстати, а корень из минус единицы тоже "фокус"? Просто арифметика это запрещает...

@@yurituev Вы всё со своим корнем из минус единицы носитесь, пытаетесь кого-то ошеломить. Мнимой единице уже пол тысячи лет, а вам она покоя не даёт, как будто вчера о ней узнали. Комплексное число не является объектом арифметики, а сумма натуральных чисел является. Для комплексных чисел построена своя алгебра со своими правилами сложения, умножения и т.д. И когда говорят о корне уравнение x^2+1=0, никому не пытаются впарить, что это чудесным образом переродившаяся единица. Будьте проще и прежде, чем критиковать, бряцая понтами, попытайтесь понять, что именно вы критикуете.

А что бывает несерьёзная математика? Достаточно набрать в поисковой строке "сумма натурального ряда", хоть в поисковике, хоть в Ютубе, чтобы убедиться, что не все согласны с тезисом об отсутствии суммы у натурального ряда.

@@kvadromir да. как я и написал - несерьезная математика это та, в которой люди считают, что вещи могут иметь некий смысл до того как мы его сами им присвоили, и вся современная математика это понимает. ладно, может надо было так и сказать, не "серьезная", а "современная", но не суть. суть в том, что за долгую историю математики люди наконец поняли то, что я написал выше, а кто нет - либо лукавит, либо не имеет отношения к математике в ее современном понимании

@@КириллБезручко-ь6э Да, ладно. И какой же смысл вы присвоили натуральным числам, кроме того, который им присвоен естественным образом, и, например, тому факту, что 1+2=3?

@@КириллБезручко-ь6э не вполне так. У кардано мнимые числа сами повылезали, хотя он и решал кубические уравнения в вещественных, и мнимые ему и нафиг не сдались. Также и суммы расх. рядов сами вылезают, а не только когда мы решили подурачится, нарушить правила. Это и убедило Эйлера к публикациям по расх. рядам. Не то что он придумал, типа, давайте забьем на сходимость. А что его любимая трансформация для ускорения счета, ни у кого не спрашивая разрешения, суммировала многие классы расх. рядов.

@@kvadromir вы меня кажется недопоняли. я говорю о том, что бессмысленно например возводить в квадрат вектор, не определив какого либо умножения перед этим, и сидеть гадать какой же у этого тайный смысл. тут так же. нет смысла спорить о сумме 1-1+1-1+... ведь по определению суммы он просто расходится и все, нет никаких секретов. но можно ввести другие определения в рамках которых данное выражение уже будет иметь более конкретный смысл, и от этого плясать какие-либо следствия

Имелось ввиду, что дифференцирование и интегрирование в курсе ВМ идёт раньше ТФКП. Поэтому ребятам стоит в начале разобрать эти вопросы, прежде чем погружаться в теорию комплексных.

Можно, но зачем? ТФКП изучается значительно позднее интегрирования, и тем более дифференцирования.

@@kvadromir для коллекции решений. Рамануджан тоже обходился без теоремы Коши, и ничего, двойным интегрированием обходился

@@АлександрБесфамильный-у2е Так-то да, отлично.

Уравнение делится на -5. Остаётся, как и написано, x-2+y-3+3z-3=0.

Вряд ли его можно назвать общепризнанным, но в тоже время нет причин его не принимать во внимание.

Да, можно и эти интегралы брать.

Пусть будет так, но интеграл то берётся.

@kvadromir , если знать вид ответа заранее через интегрирование по частям. Формула-то конкретно под интеграл из видео. А поменять степень, поменять тригонометрию и уже будет неизвестно как будет выглядеть общий вид.

@@WhiteDMaxwell От изменения степени ничего не меняется. Естественно, выбираемые многочлены должны соответствовать по степени многочленам, стоящим в подынтегральной функции. Если коэффициент при аргументе под косинусом изменить, точно также ничего не меняется, но, разумеется, нужно будет брать косинус и синус с соответствующими аргументами. Поменяете синус на косинус, и метод сработает также легко и непринуждённо. Заранее ответ знать не надо, достаточно иметь общее представление о производной и первообразной основных элементарных функций. Покажите метод, в котором этого не требуется.

@@kvadromir , вывод формулы из видео в студию. Со всеми выкладками. Я посмотрю, как ты это сделаешь без интегрирования по частям.

@@WhiteDMaxwell Видео как раз о том, как можно взять интеграл без использования формулы интегрирования по частям. Как-нибудь повторю ещё раз.

Интеграл и производная от косинуса и синуса будет или косинус или синус. остаётся домножить каждый из них на многочлен той же степени, что и исходный.

Это точно

-1/12 это не просто так, там зарыто число Бернулли (второе, кажется), равное 1/6. Не хрен собачий.

Попробуйте пару интегралов взять тем и другим способом и поймёте. Просто привычка.

@kvadromir брал много-много раз методом по частям. А метод неопред. к-тов оправдан разве что при интегрировании рациональных выражений. Правда, возни, по-моему, больше, чем по частям. Но и за этот способ спасибо, за многогранность.

@@Sergey12121979 Представленный метод и метод неопределённых коэффициентов, который используется при интегрировании рациональных выражений это "две большие разницы". При интегрировании рациональных выражений неопределённые коэффициенты используются для того, чтобы разложить подынтегральное выражение на простые дроби. Это происходит ещё до интегрирования этих простых дробей. В представленном методе процесс интегрирования вообще исключён. Для тех, кто с лёгкостью интегрирует и пользуется формулой интегрирования по частям также виртуозно как вилкой или ложкой, данный метод, возможно, не покажет каких-то преимуществ в силу привычки, но, если человек не хочет интегрировать или формула интегрирования по частям вызывает у него какие-то неприятные ассоциации, то для такого человека этот метод будет более предпочтительным.

@kvadromir все это понятно. Но! Я, посмотрев на исходный интеграл, как-то вот не смог бы вспомнить, что ответ является комбинацией косинуса и синуса. Ну вот не помню этого, и все. Дальше что? Гуглить? Поэтому, уж коли видео на математическую тему, рассчитано оно априори на людей, владеющих матаппаратом на должном уровне. А так, да, в тфкп вместо интегрирования вообще дифференцируют.

Привычнее может быть.

@kvadromir ну как раз интегрирование по частям таблицей (шнуровкой, только половинчатой) в вузах редко показывают

Не проще. Попробуйте на ряде примеров и вы убедитесь в обратном. И кроме того не надо ничего понимать, просто дифференцируем и получаем результат. Чтобы найти этот интеграл по частям придётся взять 4 интеграла, а в данном методе ни одного!

@@kvadromir однозначно затратнее по времени, чем интегрирование по частям. Кроме того, никому особо не интересно это "интегрирование" частных случаев. Безусловно для того кто не хочет ничего понимать для этого частного случая прокатит. Если, конечно, он не задастся вопросом почему мы ограничиваемся только многочленами второй степени.

@@konstantin2941 Нет метода интегрирования который был бы универсальным. Любой метод интегрирования, предназначен для определённого довольно узкого круга интегралов. Метод интегрирования по частям не является исключением.

@@konstantin2941 и да "почему мы ограничиваемся только многочленами второй степени"? Представленным способом можно взять подобный интеграла с многочленом любой степени.

Назовите стражем истины или мудрецом, разоблачающим заведомый дебилизм. 😉

@kvadromir Рад бы, но на ум приходят доугие слова, не очень приличные.

у меня вектор а = p + 2q и b = p + 2q

@@Shevoshe Конечно, получится ноль.

​@@kvadromirспасибо

Давайте разберёмся. Дифференциальные уравнения и функции комплексной переменной изучаются много позднее интегралов. Поэтому сводить методы интегрирования к дифференциальным уравнения не вполне корректно. В курсе дифференциальных уравнений, написанное вами уравнение решается непосредственным интегрированием. Метод неопределённых коэффициентов применяется для поиска частного решения дифф. ур-ий второго и более высоких порядков. На счёт простого интегрирования "в лоб" вы не правы. Применение формулы интегрирования по частям в большинстве случаев более трудоёмко. Про комплексные функции я уже написал они изучаются много позднее. Таким образом вы вскрыли ещё одно преимущество предложенного метода. Чтобы им воспользоваться достаточно уметь только дифференцировать, а чтобы найти интеграл по вашим методам нужно проучиться до третьего курса и быть сильно умным.

@kvadromir, и согласен и нет. Метод неопределенных коэффициентов применяется много где, и в данном случае получается как раз линейный диффур со спец. правой частью. Просто сущность метода из видео как раз в этом. Насчет общего случая - не знаю, но конкретно в данной ситуации интегрирование по частям сильно быстрее. В общем случае, наверное, может быть и так и так. В таком случае это еще один метод в копилку методов, что хорошо само по себе)

@@amaxar7775 Согласен, это именно метод неопределённых коэффициентов. Подумалось, почему бы и не применить его в таком контексте.

Есть ещё такое. Было четыре угла, один угол отрезали. Осталось 5 углов. 4-1=5

Напротив, я отстаиваю научную точку зрения, известную из любого учебника по мат. анализу. Откройте любой учебник на странице, где рассматриваются числовые ряды, и вы увидите именно то, что натуральный ряд расходится, хотя бы по необходимому условию, признаку сравнения, или какому другому признаку, если вы понимаете, о чём я. А расходящийся ряд суммы не имеет по самому своему определению и определению суммы ряда. Это первый или второй курс в университете или техническом вузе, но не в гуманитарном.

@@kvadromir а если так сделать: 1) домножить и поделить каждый член ряда на n!; 2) n! который вверху заменить на гамма функцию; 3) гамма-функцию записать через интеграл от 0 до oo; 4) поменять местами знаки суммы и интеграла. Получили интеграл от 0 до oo. Теперь ряды, которые сходились, так и остались сходящимися. А ряды, которые расходились, тоже стали сходиться. 1-1+1-1 к 1/2, 1-2+3-4 к 1/4 и т.д. То есть их скрытые суммы проявились)

@@dmitryramonov8902 Это любопытное обоснование. Конкретно для этих рядов, да, означенные манипуляции приведут к соответствующим числам. Но для других рядов так может и не получиться. Например, для ряда 1+1+1+..., или ряда 1+2+3+... получается infinity.

@@dmitryramonov8902 Благодарю за этот алгоритм, он по настоящему великолепен. Не сразу можно понять, где тут "собака зарыта". Я думаю, фокус-покус скрывается где-то в пункте 4. Такая коммутация суммы и интеграла допустима лишь для сходящихся рядов, но не для расходящихся. Однако, я должен это признать, совпадение результатов с 1/2 и 1/4 удивляет.

@@kvadromir разоблачили метод верно, перемена значков суммы и интеграла была незаконной. Но это не баг, а фича. Метод определяет не куда ряд сходится, а откуда. То есть восстанавливает производящую функцию. Для 1-1+1-1... производящая функция будет 1/(1+х), а для 1-2+3-4... производящая функция будет 1/(1+x)². В единице 1/2 и 1/4, соответственно. Для ряда 1+2+3+4+5... производящая функция будет 1/(1-х)². Поэтому интеграл честно показывает oo. Чтоб получить -1/12, нужны другие интегралы, два из которых я уже приводил. Разумеется, они складывают все похожие суммы, где обычная производящая функция сингулярна.

Оригинально, но, да, неспокойно.

Любопытно. Оригинально. Лайк. Только не соответствует смыслу суммы расходящегося ряда. Расх. ряд - это образ, ему соответствует производящая функция, которая извлекается из функционального уравнения. Произв. рядов (трудоемкая операция) можно найти через произведение функций (простая операция).

Есть похожая штука - сумма по (p-1)/2. Фиксируем любое простое p больше 2, тройка у вас была, пусть будет 5. Ставим скобки, забирая по (5-1)/2=2 члена в обе стороны: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12... = 1+2+(3+4+5+6+7)+(8+9+10+11+12)+.. = 3+25+50+...=3+25(1+2+...). x=3+25x x=-1/8

Почему не должна? Очень даже может.

@@kvadromir Частный случай формулы может. Но сама формула не должна. Как формула кинетической энергии Eₖ=m*v²/2, которая верна для малых скоростей и неверна для релятивистских, где превращается в Eₖ=m*c²*(1/√(1-v²/c²)-1).

@@ЮраН-ь2к Но ведь при v>c эта формула также не верна.

@@kvadromir Мы ничего не можем сказать про случай v>c. Теория запрещает такие скорости для реальных тел. Но за неимением лучшего можем применять её и для него. Только надо учитывать, что извлечение корня - неоднозначная операция. И соответственно, там будет неоднозначным направление времени и движения тела.

@@ЮраН-ь2к А! Ну тогда понятно.

Вы имеете в виду через аналитическую функцию?

@kvadromir через exp(3 x i)

@@dmitryramonov8902 Это уже за рамками элементарных методов интегрирования функции действительного переменного.

Благодарю!

Потому что нет такого метода