결과적으로 내가 부족했던것 1.문제 자체의 이해 -문제 자체를 이해하지 못했음 -이부분은 실력이 없던거라 아쉽지 않음 2.An,Bn자체의 좌표설정 -삼각형 부분은 정리했는데 이후에 그걸 식으로 반영하지 못했음 3.역함수 관계파악 -2^x 와 지수함수를 따로봐서 역함수 관계에 대한부분을 놓쳤음 4.2^b 에 대한식을 삼각형을 이용해 구하는 것 -이것도 내가 처음보는거라 아쉽지는 않음 [좌표설정 , 역함수 관계파악 , 알지만 못했던것 ] [문제 자체에 대한 이해 , 삼각형을 이용해 지수함수식 정리 방금 강의를 통해 새로 배운것 ] (5번은 반복해야하니 맛만본것)
안녕하세요. 알파를 (나)조건에 의하여 알파=pi/4-b/2라고 한 뒤 풀이를 하면되는데 왜 굳이 알파와 b/2가 서로 다른 값이라는 것을 밝힌 것일까요? 물론 서로 다른 값이라는 것을 밝혔다고 틀린 풀이는 아닌데 해당 문제를 풀이하는데 있어 서로 다른 값이라는 것을 밝히는 공정이 없어도 되지 않나요?
극대점 기준으로 살짝 오른쪽에( 1,f(1)) 을 위치 시켜도 (1,f(1)에 접하고 ( 5/2,f(5/2)) 지나는 직선이 하나 만들어지는데 혹시 이거가지고도 문제 풀이가능한가요? 이러면 이계도함수 쳤을때 프라임 값이 2가 떠버리는데 나 조건 위배되는데 왜 이렇게 풀면 모순이 발생하나요?
"평균변화율 기준 윗쪽 지점을 왼쪽으로 필연적으로 끌고가야하는데 어느순간 (1,f(1))을 넘어버리기 때문에" 이 부분이 정확히 무슨 말씀이신지 잘 모르겠습니다. --------------------------------- 왼쪽 접선을 택하게 되면 g(x) 의 값이 한없이 작아질 수도 있기 때문에 g(x) 가 최솟값을 갖는 다는 조건에 위배된다는 것입니다.
"혹시 이거가지고도 문제 풀이가능한가요? 이러면 이계도함수 쳤을때 프라임 값이 2가 떠버리는데 나 조건 위배되는데 왜 이렇게 풀면 모순이 발생하나요?" 정확히 무슨 말씀이신지 잘 모르겠습니다. 구체적으로 설명을 해주셔야 할 것 같습니다. ---------- 말씀하신 것처럼 극대점 살짝 오른쪽에 (1, f(1)) 이 있다고 한다면 (1, f(1)) 에서 접선을 그었을 때, 접점의 x 좌표가 5/2 가 되면 됩니다. (이 경우 (1, f(1)) 에서 삼차곡선에 접하는 접선을 말하는 것이 아닙니다.) 그러면 나 조건에 위배되지 않습니다.
9:57 f''(x)=0이 된다는 건 사실 이계도함수 풀이긴 한데 이계도함수와 그 값이 0이 되는 것(변곡점)은 사실 미적분 과정이긴 합니다! 이건 수2라서 그냥 2차함수의 완전제곱꼴로 대칭축을 찾는 것이 나을 거 같아요. 물론 이계도함수를 구해서 대칭축을 찾는 것도 삼차함수에서 일차함수까지 미분하여 구하는 수고로 풀순 있긴 할 거 같습니다. 마치 수2 위치에서 가속도를 구할때 2번 미분하는 것처럼..
g의 역함수가 실수 전체에서 증가하는 함수이기 때문입니다. g(a)=알파, g(b)=베타라고 하면 h(x)는 h(알파)=0, h(베타)=0 이 되고 그 외의 지점에서는 0이 되지 않습니다. x 의 값을 변화시키면서 그래프 개형이 어떻게 될지 직접 그려보시면 쉽게 이해할 수 있습니다.
안녕하세요. 선생님께서 구한 f(x)에 대하여 선생님께서 구한 방법으로 g(x)가 연속함수임을 수학적으로 증명해주시길 바랍니다. 문제에서 연속이라고 했으나, 해당 풀이에서는 선생님이 제시한 g(x)가 연속함수가 맞다라는 것을 수학적으로 안 보였으므로 그 부분에 대해 의문이 남습니다.
@@SAJDMP 안녕하세요. 1. {f(x)-f(1)}/(x-1)=f'(g(x))를 보고 대강 평균값 정리로 논의를 하시는 거 같으신데 여기서 평균값 정리가 나온다면 그건 오개념입니다. 애초에 평균값 정리는 존재명제이고, 저건 특정 지점에서의 미분계수라는 뜻이지요. 2. c가 연속적으로 변화한다고해서 g'(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이라고 할 수 없다고 생각합니다. 우선 c의 값을 모두 모아보면 실수 전체가 된다는 보장은 못하는 것은 참이며, (예를 들어 c의 집합이 유리수 집합이 될 수 있지요.) 따라서 일부 구간에서는 연속이라 할 수도 있을거 같으나 저것만으로는 실수 전체의 집합에서 연속이라고는 단정지을 수 없다고 생각합니다.
@@SAJDMP 안녕하세요. 1. 평균변화율이 연속이기때문에 평균변화율=f'(c)이 되는 c 역시 연속적으로 변합니다.라고 "먼저" 하셨기때문에 평균변화율이 연속이라는 것만 가지고 c가 연속적으로 변하는거를 고교과정에서 어떻게 유도할 수 있는지에 대해 증명을 보여주는게 우선입니다. 또한 c가 연속적으로 변한다는 것만 가지고 g'(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 된다는 것도 보여야지요. 2. 그럼에도 불구하고 그냥 제가 먼저 개념적으로 설명하겠습니다. 평균값 정리에 따르면 x_1<c<x_2인 c값이 적어도 하나 "존재"한다.입니다. 또한 x_1과 x_2사이에는 무수히 많은 실수가 존재하지요. 그러므로 x_1과 x_2를 임의의 실수라고 해도 각각의 x_1과 x_2에 대해 평균변화율=f'(c)인 c를 모두 구해봤을때 c가 무수히 많을 수는 있으나 그거가지고는 실수 전체의 집합이 된다는 보장을 못합니다. 실제 실수 집합안에는 유리수 집합이 있고 유리수는 무수히 많지요. 그래서 어떤 경우에는 유리수 집합이 될 수도 있다는 것이며 이는 실수 집합의 성질과 c가 "존재"한다는거에 의해 생기는 수학적 사실입니다.
제가 여러모로 부족해서 잘 이해를 못하겠습니다. --------- 제가 생각한 것은 이렇습니다. x 가 연속적으로 변할 때, {f(x)-f(1)} / (x-1) 이 연속적으로 변하는 것 까지는 문제될 것이 없지요? x=4 라고 생각을 해보겠습니다. 그렇다면 {f(4)-f(1)} / 3 = f'(c1) 를 만족하는 c1을 찾을 수 있습니다. f 가 삼차함수이므로 c1은 두 개가 나오겠지만, 항상 둘 중에 큰 값을 c1로 정하기로 합니다. (만약 x의 값이 변함에 따라 큰값과 작은값 중 무작위로 하나를 선택한다고 하면 g(x)가 불연속이 됩니다. 또한 항상 둘 중에 작은 값을 c1이라고 정한다면 g(x)는 최솟값이 존재하지 않게 됩니다.) 그런데 f 의 도함수도 이차함수라서 연속인 함수입니다. 이제 x 가 4에서부터 연속적으로 점점 커지거나 혹은 작아진다고 생각을 해 보겠습니다. 그렇다면 t = {f(x)-f(1)} / (x-1) 도 연속적으로 점점 커지거나 작아지겠죠. t=f'(c) 에서 t 값이 {f(4)-f(1)} / 3 으로부터 연속적으로 점점 커지거나 작아니까, 그에 해당하는 c 역시 c1으로부터 연속적으로 점점 커지거나 작아지게 됩니다. f 의 도함수가 연속이기 때문이죠. (연속함수 y=f(x) 위의 점 (x, y) 에서 y 가 연속적으로 변한다면 x 역시 연속적으로 변한다는 것을 알 수 있습니다.) 결국 x 가 연속적으로 변할 때, c 도 연속적으로 변합니다. 그렇다면 (x, c)라는 점들로 이루어지는 y=g(x) 의 그래프는 실수 전체에서 연속이 되는 것이 아닐까요? 잘못된 부분이 있다면 말씀해 주십시오.
저 중학교 때 고등과정 선행하면서 수악중독님 수(상)(하) 강의 너무 잘 봤었는뎅,,, 진짜진짜 도움 많이 됐어요! 학원에서 진도 빼고 문제 풀기 급급해서 개념 이해 덜 됐다고 느낀 적이 많아서 집 와서 꼭 수악중독님 영상으로 복습했었는데 이렇게 좋은 강의 무료로 풀어주셔서 정말정말 감사했습니다! 고등학교 와서 내신준비 한다고 급급하다가 9모 끝나고 딱 9모 해설로 선생님 오랜만에 뵈니까 마음이 뭉클하네요ㅠㅠ 덕분에 9모 수학 다 맞고 왔습니다!! 이렇게 훌륭한 강의들 무료로 풀어주시는 거 너무너무 감사드리고 존경스럽구ㅠㅠ 항상 건강하세요 선생님!!
왜 S10-S9가 난 개판으로 나왔던걸가 .... 너무 아숩다 ... 연습해봐야지머...ㅠㅠ
와이거 접근 자체가 안되던데 오히려 20번 21번이 쉽게 느껴졌는데 ... 너무나 부족한게 많다 ㅠㅠㅠ....
결과적으로 내가 부족했던것 1.문제 자체의 이해 -문제 자체를 이해하지 못했음 -이부분은 실력이 없던거라 아쉽지 않음 2.An,Bn자체의 좌표설정 -삼각형 부분은 정리했는데 이후에 그걸 식으로 반영하지 못했음 3.역함수 관계파악 -2^x 와 지수함수를 따로봐서 역함수 관계에 대한부분을 놓쳤음 4.2^b 에 대한식을 삼각형을 이용해 구하는 것 -이것도 내가 처음보는거라 아쉽지는 않음 [좌표설정 , 역함수 관계파악 , 알지만 못했던것 ] [문제 자체에 대한 이해 , 삼각형을 이용해 지수함수식 정리 방금 강의를 통해 새로 배운것 ] (5번은 반복해야하니 맛만본것)
7:20초에서 교점을볼때 a1이 왜 (0,q)부터는 안되나요?
양수여야 한다고 문제에 나와 있네요.
@@SAJDMP감사합니다
코사인 세타 구하는 것부터 눈치를 못 챘네요... 기하도 많이 보면 익숙해질거라 믿고 밀고 나가보겠습니다!
b-k가 -4 는 왜 안되는건가요
그럼 a-k 에서 불연속이 되기 때문입니다.
지리네요
😮
처음 보조선을 그린 근거가 뭔가요?
동위각을 만들어주기 위함입니다.
와 쌤 직입니다
개념원리 공통수학2 518번 문제
잘 보았습니다.
잘 보았습니다.
GOAT
이 문제 포물선의 정의 맛깔나게 잘 썼죠
제가 수학 하를 잘 배우지 않아 개념이 잘 잡혀있지 않은데 공집합이 아니라는 것이 무엇을 뜻하나요? 그리고 n(b)를 구할때 원소에 왜 1이 들어가면 안되는지 모르겠습니다
잘보았습니다 *
안녕하세요. 알파를 (나)조건에 의하여 알파=pi/4-b/2라고 한 뒤 풀이를 하면되는데 왜 굳이 알파와 b/2가 서로 다른 값이라는 것을 밝힌 것일까요? 물론 서로 다른 값이라는 것을 밝혔다고 틀린 풀이는 아닌데 해당 문제를 풀이하는데 있어 서로 다른 값이라는 것을 밝히는 공정이 없어도 되지 않나요?
죄송한데 아무리 찾아도 올려주신 문제 출처랑 안맞아서요....혹시 어디 문제인가요?
구글에 검색하니까 바로 나옵니다. 2022년 5월에 시행된 경북교육청 모의고사입니다.
완료!
아우 어렵네
와 이런채널도 있었네 나만 알고있어야지
4:15 여기서 나조건 위배된다는게 평균변화율 기준 윗쪽 지점을 왼쪽으로 필연적으로 끌고가야하는데 어느순간 (1,f(1))을 넘어버리기 때문에 모순된다해서 평변 기준으로 아랫쪽 접선이 채택 된건가요?
극대점 기준으로 살짝 오른쪽에( 1,f(1)) 을 위치 시켜도 (1,f(1)에 접하고 ( 5/2,f(5/2)) 지나는 직선이 하나 만들어지는데 혹시 이거가지고도 문제 풀이가능한가요? 이러면 이계도함수 쳤을때 프라임 값이 2가 떠버리는데 나 조건 위배되는데 왜 이렇게 풀면 모순이 발생하나요?
"평균변화율 기준 윗쪽 지점을 왼쪽으로 필연적으로 끌고가야하는데 어느순간 (1,f(1))을 넘어버리기 때문에" 이 부분이 정확히 무슨 말씀이신지 잘 모르겠습니다. --------------------------------- 왼쪽 접선을 택하게 되면 g(x) 의 값이 한없이 작아질 수도 있기 때문에 g(x) 가 최솟값을 갖는 다는 조건에 위배된다는 것입니다.
"혹시 이거가지고도 문제 풀이가능한가요? 이러면 이계도함수 쳤을때 프라임 값이 2가 떠버리는데 나 조건 위배되는데 왜 이렇게 풀면 모순이 발생하나요?" 정확히 무슨 말씀이신지 잘 모르겠습니다. 구체적으로 설명을 해주셔야 할 것 같습니다. ---------- 말씀하신 것처럼 극대점 살짝 오른쪽에 (1, f(1)) 이 있다고 한다면 (1, f(1)) 에서 접선을 그었을 때, 접점의 x 좌표가 5/2 가 되면 됩니다. (이 경우 (1, f(1)) 에서 삼차곡선에 접하는 접선을 말하는 것이 아닙니다.) 그러면 나 조건에 위배되지 않습니다.
9:57 f''(x)=0이 된다는 건 사실 이계도함수 풀이긴 한데 이계도함수와 그 값이 0이 되는 것(변곡점)은 사실 미적분 과정이긴 합니다! 이건 수2라서 그냥 2차함수의 완전제곱꼴로 대칭축을 찾는 것이 나을 거 같아요. 물론 이계도함수를 구해서 대칭축을 찾는 것도 삼차함수에서 일차함수까지 미분하여 구하는 수고로 풀순 있긴 할 거 같습니다. 마치 수2 위치에서 가속도를 구할때 2번 미분하는 것처럼..
좋은 의견 감사합니다.
선생님 저 여기서 점 P를 점 C로 잘못 잡아서 답을 45로 적고 틀려 버렸습니다 ㅠㅠ
다음에는 실수 없이 잘 하실겁니다. 화이팅!!
이정도면 평가원 22번 기출이랑 난이도 비슷하지 않나.... 교육부가 걸고 넘어질만한 문제는 확실히 아닌것 같았습니다. 선생님은 어떻게 생각하시나요?
모두 저보다 훌륭하신 분들이 하시는 일들이라 제가 왈가왈부 할 사항은 아닌것 같습니다.
0:45 에 x^3 - 3t^2 x 를 인수분해 하면 x (x^2 - 3t^2) 입니다. 죄송합니다. ㅠㅠ
문제 너무 깔끔하게 잘 푸시네요 ㅎㅎㅎ 큰 도움이 되었습니다^^
잘보고가요
😀
이렇게 풀면 안되지만, s^2+8l= 6720이라고 했을때, 선분 AB의 대각선 값은 상수밖에 못나옴. 대각선의 값이 상수인 피타고라스 값은 5, 10, 15, 20밖에 없음. 밑변 6, 높이8, 대각선 길이 10. 피티고라스 정리하면 루트 164임.
와 진짜 역대급으로 여렵네요
3:43 저 지점이 왜 알파가 되는지 알 수 있을까요?
g inverse(alpha)=a 이기 때문에 f(a)=0 이 됩니다. 즉, h(alpha)=0 이 됩니다.
@@SAJDMP h(1)=0인건 알겠는데 a랑b중에 어느게 0인지를 모르겠어요
@@SAJDMP h(1)=0이니까 g인버스 1이 0이라서 f(0)=0 인건 알겠는데 a랑b중에 누가 0인지 어떻게 아는건가요?
영상에 그 내용이 나옵니다. 영상을 다시 한 번 보시기 바랍니다.
난이도 최상 줘야할듯..
3:03 ? 왜 그래프가 대충 왜 이렇게 그려지나요?
?
g의 역함수가 실수 전체에서 증가하는 함수이기 때문입니다. g(a)=알파, g(b)=베타라고 하면 h(x)는 h(알파)=0, h(베타)=0 이 되고 그 외의 지점에서는 0이 되지 않습니다. x 의 값을 변화시키면서 그래프 개형이 어떻게 될지 직접 그려보시면 쉽게 이해할 수 있습니다.
이거 5번째 봤는데 이제 이해되네요
제가 고3인데 수능 수학준비하면서 요번 모의고사에서 22번 접근해봤는데 분명 과정은 해설지랑 같게 갔는데 몇개 빼먹어서 틀렸는데요 뭐가 문제일까요?
본인 풀이를 올려주셔야 답변을 드릴 수 있을 것 같습니다.
고등학교 입학하고 또 찾아보고있는데 아직까지 영상 올리고있는건 몰랐네요
스읍 근데 이 문제 교육청이 아니라 사설 아닌가요? 낯이 익길래..
아니 문제 진짜 개 선넘네;;;;;
이 문젠 범위에 따른 이차함수의 최대 최소를 활용한 어렵진 않은 문제인데, 계산이 많아 복잡하고 시간이 많이 걸리는 것 같습니다. 수학을 잘하려면 계산 역시 빠르고 정확해야한다는 생각이 들도록 해주는 문제인 것 같네요.
2022 고1 9, 11월 30번 해주세요!!
mathjk.tistory.com/4359 mathjk.tistory.com/4270
안녕하세요. 선생님께서 구한 f(x)에 대하여 선생님께서 구한 방법으로 g(x)가 연속함수임을 수학적으로 증명해주시길 바랍니다. 문제에서 연속이라고 했으나, 해당 풀이에서는 선생님이 제시한 g(x)가 연속함수가 맞다라는 것을 수학적으로 안 보였으므로 그 부분에 대해 의문이 남습니다.
평균변화율 {f(x)-f(x)} / (x-1) 는 연속적인 값을 갖습니다. 또한 삼차함수를 미분하면 이차함수가 되고, 이차함수는 실수 전체에서 연속입니다. 따라서 위의 평균변화율이 연속이기 때문에 평균변화율=f'(c)이 되는 c 역시 연속적으로 변합니다.
@@SAJDMP 안녕하세요. 1. {f(x)-f(1)}/(x-1)=f'(g(x))를 보고 대강 평균값 정리로 논의를 하시는 거 같으신데 여기서 평균값 정리가 나온다면 그건 오개념입니다. 애초에 평균값 정리는 존재명제이고, 저건 특정 지점에서의 미분계수라는 뜻이지요. 2. c가 연속적으로 변화한다고해서 g'(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이라고 할 수 없다고 생각합니다. 우선 c의 값을 모두 모아보면 실수 전체가 된다는 보장은 못하는 것은 참이며, (예를 들어 c의 집합이 유리수 집합이 될 수 있지요.) 따라서 일부 구간에서는 연속이라 할 수도 있을거 같으나 저것만으로는 실수 전체의 집합에서 연속이라고는 단정지을 수 없다고 생각합니다.
제가 많이 부족합니다. 오개념으로 푼 틀린 풀이라고 생각하신다면 반례를 들어주셨으면 합니다. c값들을 다 모은 집합이 유리수의 집합이 되는 경우가 어떤 경우일까요?
@@SAJDMP 안녕하세요. 1. 평균변화율이 연속이기때문에 평균변화율=f'(c)이 되는 c 역시 연속적으로 변합니다.라고 "먼저" 하셨기때문에 평균변화율이 연속이라는 것만 가지고 c가 연속적으로 변하는거를 고교과정에서 어떻게 유도할 수 있는지에 대해 증명을 보여주는게 우선입니다. 또한 c가 연속적으로 변한다는 것만 가지고 g'(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 된다는 것도 보여야지요. 2. 그럼에도 불구하고 그냥 제가 먼저 개념적으로 설명하겠습니다. 평균값 정리에 따르면 x_1<c<x_2인 c값이 적어도 하나 "존재"한다.입니다. 또한 x_1과 x_2사이에는 무수히 많은 실수가 존재하지요. 그러므로 x_1과 x_2를 임의의 실수라고 해도 각각의 x_1과 x_2에 대해 평균변화율=f'(c)인 c를 모두 구해봤을때 c가 무수히 많을 수는 있으나 그거가지고는 실수 전체의 집합이 된다는 보장을 못합니다. 실제 실수 집합안에는 유리수 집합이 있고 유리수는 무수히 많지요. 그래서 어떤 경우에는 유리수 집합이 될 수도 있다는 것이며 이는 실수 집합의 성질과 c가 "존재"한다는거에 의해 생기는 수학적 사실입니다.
제가 여러모로 부족해서 잘 이해를 못하겠습니다. --------- 제가 생각한 것은 이렇습니다. x 가 연속적으로 변할 때, {f(x)-f(1)} / (x-1) 이 연속적으로 변하는 것 까지는 문제될 것이 없지요? x=4 라고 생각을 해보겠습니다. 그렇다면 {f(4)-f(1)} / 3 = f'(c1) 를 만족하는 c1을 찾을 수 있습니다. f 가 삼차함수이므로 c1은 두 개가 나오겠지만, 항상 둘 중에 큰 값을 c1로 정하기로 합니다. (만약 x의 값이 변함에 따라 큰값과 작은값 중 무작위로 하나를 선택한다고 하면 g(x)가 불연속이 됩니다. 또한 항상 둘 중에 작은 값을 c1이라고 정한다면 g(x)는 최솟값이 존재하지 않게 됩니다.) 그런데 f 의 도함수도 이차함수라서 연속인 함수입니다. 이제 x 가 4에서부터 연속적으로 점점 커지거나 혹은 작아진다고 생각을 해 보겠습니다. 그렇다면 t = {f(x)-f(1)} / (x-1) 도 연속적으로 점점 커지거나 작아지겠죠. t=f'(c) 에서 t 값이 {f(4)-f(1)} / 3 으로부터 연속적으로 점점 커지거나 작아니까, 그에 해당하는 c 역시 c1으로부터 연속적으로 점점 커지거나 작아지게 됩니다. f 의 도함수가 연속이기 때문이죠. (연속함수 y=f(x) 위의 점 (x, y) 에서 y 가 연속적으로 변한다면 x 역시 연속적으로 변한다는 것을 알 수 있습니다.) 결국 x 가 연속적으로 변할 때, c 도 연속적으로 변합니다. 그렇다면 (x, c)라는 점들로 이루어지는 y=g(x) 의 그래프는 실수 전체에서 연속이 되는 것이 아닐까요? 잘못된 부분이 있다면 말씀해 주십시오.
선생님,정육강형에서 대각선 2개는 한점에서 만나지만 나머지 한 대각선이 그곳을 지난다는 것을 어떻게 증명하나요
정육각형의 외접원을 그려서 말씀하시는 대각선들이 원의 중심을 지나는지만 확인하면 되겠네요
명쾌한 설명 잘 보았습니다. 감사합니다~
감사합니다.
감사합니다. 이해가 한번에 됐네요.
123 화살을 항상 123으로 쏴야하는건 함성함수의 성질인가요? 123화살을 12345로 쏘는 경우의 수로 잡고 풀었었는데😢
A={1, 2, 3}이 되는 하나의 예를 들어서 설명한 것입니다. 앞 쪽에 5C3 을 곱해줬기 때문에 A 가 될 수 있는 집합이 10가지가 있다는 것을 알 수 있습니다.
예를 들어 치역이 {1, 2, 3}이라고 할 때 , 다음과 같은 함수도 문제의 조건을 만족하지 않나요? f(1)=2, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=3, f(5)=3
n(A) =3, n(B) = 2 가 되어 (나) 조건을 만족하지 않습니다.
@@SAJDMP 감사합니다!
아는 만큼 보인다더니 보이는게 없네요ㅜㅜ..
저 중학교 때 고등과정 선행하면서 수악중독님 수(상)(하) 강의 너무 잘 봤었는뎅,,, 진짜진짜 도움 많이 됐어요! 학원에서 진도 빼고 문제 풀기 급급해서 개념 이해 덜 됐다고 느낀 적이 많아서 집 와서 꼭 수악중독님 영상으로 복습했었는데 이렇게 좋은 강의 무료로 풀어주셔서 정말정말 감사했습니다! 고등학교 와서 내신준비 한다고 급급하다가 9모 끝나고 딱 9모 해설로 선생님 오랜만에 뵈니까 마음이 뭉클하네요ㅠㅠ 덕분에 9모 수학 다 맞고 왔습니다!! 이렇게 훌륭한 강의들 무료로 풀어주시는 거 너무너무 감사드리고 존경스럽구ㅠㅠ 항상 건강하세요 선생님!!
댓글 남겨 주셔서 감사합니다. 항상 응원합니다. 열공하세요~~~!!!