x+y=4 xy+y^2=4y y^2+m^2+4-4y=0=(y-2)^+m^2 y=2 m=0 ,, x+2y+3m=(x+y)+y+3m=4+2+0=6
x=4-y xy=(4-y)y=m^2+4 0=(y-2)^2+m^2 y=2 m=0 x+2y+3m=x+y+y+3m=4+2+0=6
分子分母各長除法一下 x^2+4x+1 餘式再相除 就有3了唷
（2a+2+b)*2=(2(a+1)+b)(1/(a+1)+8/b)>=
分子分母同➗x平方，更简单
set t=x+1/x so t/(t-1)^2=10/9 10t^2-20t+10=9t 10t^2-29t+10=0=(5t-2)(2t-5)
太简单了这个
这个题还有个更妙的解法，那就是把x3和x9看成常数，把根号2021看成变量来求解。
很好
Nesbitt不等式
這兩道題都是對正實數成立的不等式，爲什麽畫蛇添足要加上a,b,c是三角形三邊的條件？
15xyz = xz + yz, 16xyz = yz + yx 17xyz=xy + xz, --> (15 + 16 + 17)xyz = 2(xy + yz +zx), --> xyz/(xy + yz +zx) = 24
(m² + n²)² = (m² - n²)² + 4m²n² = 6² + 4*4² = 100 ∴m² + n² = 10
令a = x³, 原式转化为 a³ - 2022a + √2021 = 0 a³ - 2021a - a + √2021 = 0 a(a² - 2021) - (a - √2021) = 0 a(a+√2021)(a-√2021) - (a - √2021) = 0 (a-√2021)(a² + √2021a - 1) = 0 ∴a-√2021 = 0 或 a² + √2021a - 1 = 0
令y = 4x/(x+4) => xy = 4(x-y) ----① 代入原式得 x² + y² = 20 -----② ② - ① x 2 x² + y² - 2xy = 20 - 8(x-y) (x - y)² +8(x-y) - 20 = 0 (x - y + 10)(x - y - 2) = 0 ∴ x - y + 10 = 0 或 x - y - 2 = 0 联合①式 x - y + 10 = 0 y = 4x/(x+4) 无实根 x - y - 2 = 0 y = 4x/(x+4) 解得x = 4 或 x = -2
x⁴ - 2x² - 400x = 9999 x⁴ - 2x² - 400x - 9999 = 0 x⁴ + 2x² + 1 - 2x² - 1 - 2x² - 400x - 9999 = 0 (x⁴ + 2x² + 1) - (4x² + 400x + 10000) = 0 (x² + 1)² - (2x + 100)² = 0 (x² + 1 + 2x + 100)(x² + 1 - 2x - 100) = 0 [(x+1)² + 100][(x-1)² - 100] = 0 ∴(x-1)² - 100 = 0 x-1 = ±10 x = 11 或 x = - 9
a^8 + a⁴ + 1 = a^8 + 2a⁴ + 1 - a⁴ = (a⁴ +1)² - a⁴ = (a⁴ + a² +1)(a⁴ - a² +1) = (a⁴ + 2a² +1 - a²)(a⁴ - a² +1) = [(a² + 1)² - a²](a⁴ - a² +1) = (a² + a + 1)(a² - a + 1)(a⁴ - a² +1) = 0
令a = x - 2, b = y - 3 a² + b² = 2 (a+b)² <= 2(a² + b²) = 4 -2 <= (a+b) <= 2 x + y = a +2 + b +3 = a + b + 5 ∴ (x + y)max = 2 + 5 = 7 (x + y)min = - 2 + 5 =3
面积为10只有一个答案
根號3算個1.7好了 t=2+1.7=3.7 小數部分 0.7 b是-t的小數 -t = -3.7 小數部分不就0.7 a跟b不應該長得一樣嗎? 負數的小數部分 應該是 負數-該負數的整數 銷掉整數部分 再相反一次 以-3.7為例 -3.7-(-3)= -0.7 (-0.7)*(-1)=0.7
用韋達定理得到3次方程之後，可以利用方程化簡待求式。
The X = 2 + K. and y = 2 - k. and -2<K <2. 4-K2 is=M2 + 4 . K2+M2=0. K=0. m=0. x=y=2
The second solution is (x+y)2>=4xy.16>=(m2+4)2.....M2<=0. M=0
Why do you conclude -2<k<2 before using the xy=m²+4 condition?
@ranshen1486 ..yes, just the "xy=m2+4>0. so . x>0, Y>0..but -2<K<2. doesn't matter.
M = xy + 2yz + 3zx = y(x + 2z) + 3zx = (1 - x - z)(x + 2z) + 3zx = x + 2z - x² -2zx - zx - 2z² + 3zx = -x² + x - 2z² +2z = -(x² - x + 1/4) + 1/4 - 2(z² - z + 1/4) + 2*1/4 = -(x-1/2)² - 2(z-1/2)² + 3/4 当x = 1/2, z = 1/2, y = 0时，M有最大值为3/4。
x=2+u y=2-u xy=4-u^2=m^2+4 m^2+u^2=0 m=u=0 x+2y+3m=6
有病，为神马引入pqr，解题变得复杂，显得水平高？
文明回复啊
本題沒這麼複雜。 原題左右3次方後， 左式得到 √(4(x-1))的三次多項式。 右邊得到 4x-5, 但常數項對消後， 即-1從左式移到右式後， 得 4x-4 = 4(x-1), 也是√(4(x-1))的二次多項式。 且常數項全部消掉。 也就是我們得到一個三次多項式 = 0 的形式， 且沒有常數項。 例如： a x³ + b x² + cx = 0 很顯然因式分解提出一個 x, 剩下的二次多項式即便無法分解也能用公式解。 然後換元只是爲了少寫幾個字... 如下： 令 t = 4x - 4, u = √t √(4(x-1)) - 1 = ∛(4x-5) => √t - 1 = ∛(t - 1) => u - 1 = ∛(t - 1) => u³ - 3u² + 3u -1 = t - 1 => u³ - 3u² + 3u -1 = u² - 1 => u³ - 4u² + 3u = 0 => u (u - 1) (u -3) = 0 （u 提出來後， 剩下的用十字交乘法） => u = 0, 1, 3 => t = 0, 1, 9 => 4x - 4 = 0, 1, 9 => x - 1 = 0, 1/4, 9/4 => x = 1, 5/4, 13/4
都知道x=9 了，直接假设x=2y+9，求出y不就行了。
x^2=5
本题目可以由 xyz=1 可以 认 |a| > 1 |bc| < 1 a*b*c =1 然后证明 就非常简单了
a-1 = √2023, 两边平方得：a^2 - 2a + 1= 2023 => 2022 = a^2 - 2a 代入所求式子 a^5 - 2a^4 - 2022a^3 = a^5 - 2a^4 - (a^2 - 2a) a^3 = a^5 - 2a^4 - a^5 + 2a^4 = 0
a(1/b + 1/c) + b(1/c+1/a) + c(1/a + 1/b) = a(1/a + 1/b + 1/c - 1/a) + b(1/c + 1/b + 1/a - 1/b) + c(1/a + 1/b + 1/c - 1/c) = a(1/a + 1/b + 1/c) - 1 + b(1/a + 1/b + 1/c) - 1 + c(1/a + 1/b + 1/c) - 1 = (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c - 3 = -3
我看到这题的第一反应，就是最优化方法里面的拉格朗日乘子法
提供另類想法: 令x = (a+b+c), y = ab +bc +ca, 則 x ≥ 3 且 等號成立 ⇐⇒ a = b =c =1.原式(通分整理展開)=1+(2(x-3))/(9+2x+4y) ≥ 1, 等號成立 ⇐⇒ x=3 ⇐⇒ a = b =c =1
大量的做题是学好数学的唯一有效方法
还有一种解法。。令t=x+5/x 有(t-3)(t-5)=3 t^2-8t+12=0 t=2 or t= 6 x+5/x=2 x+5/x=6 x^2-2x+5=0 or x^2-6x+5=0 x=1-+2I ,1 ,5
(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a=-3
播放列表是否可以按照：中考、高考、奥数来整理？
故弄玄虚。 令 x=a-b, y=b-c 则 a-c=x+y. 已知是 x y 的比例，求值也是 x y 的比例
这个方法比较偏门，不好配，令a+b=t, a=t-b.代入原式，德尔塔求值即可。
注意到: (1)f是恆正且增 (2) 1/f(t) =f(-t) ∴得 f(s)f(t)≥1 ⇐⇒ f(s) ≥ f(-t) ⇐⇒s ≥ -t.. 取 s = ax^2 , t = -2x+1 可解得.
有开创性？
他们相信增强做题功力可以为国家解决「卡脖子」问题
@@lylechen8881 那你认为练习画画才可以解决卡脖子对吗？还是唱歌？
@@望人在天北 做题、画画、唱歌……看来黔驴国也不过如此
另一种解法： AB-（A+B）=1， （A-1）（B-1）=2， A>1,B>1, A-1>0,B-1>0, A+B=(A-1)+(B-1)+2>=2Sqrt((A-1)(B-1))+2=2+2Sqrt (2)
请问 基本不等式 a+b>2√ab 哪个年级数学课本学的
请问怎么判断 后面的五次方程式无法分解
原式多简洁优美，分解成这么复杂的乘积有什么意义
请问这些竞赛 或奥数题 在哪里能获取
没想到这么配，我直接求导数等于0
我用判别式做，还得到了最小值是1
用三角函数做超级简单，这样太复杂，不是每个学生都有这样的思维。
还可以降幂 x^2 = 3x + 1 x^3 = 3x^2 + x = 3(3x + 1) + x = 10x + 3 x^3 / (x^6 - 9x^3 - 1) = (10x + 3) / ((10x + 3)^2 - 90x - 27 - 1) = (10x + 3) / (100x^2 + 60x + 9 - 90x - 28) = (10x + 3) / (300x + 100 - 30x - 19) = (10x + 3) / (270x + 81) = 1/27
因为x2+y2=6, 说明x+y是个定值，那么换言之就是有解，所以需要使用delta
x+y=4 xy+y^2=4y y^2+m^2+4-4y=0=(y-2)^+m^2 y=2 m=0 ,, x+2y+3m=(x+y)+y+3m=4+2+0=6
x=4-y xy=(4-y)y=m^2+4 0=(y-2)^2+m^2 y=2 m=0 x+2y+3m=x+y+y+3m=4+2+0=6
分子分母各長除法一下 x^2+4x+1 餘式再相除 就有3了唷
（2a+2+b)*2=(2(a+1)+b)(1/(a+1)+8/b)>=
分子分母同➗x平方，更简单
set t=x+1/x so t/(t-1)^2=10/9 10t^2-20t+10=9t 10t^2-29t+10=0=(5t-2)(2t-5)
太简单了这个
这个题还有个更妙的解法，那就是把x3和x9看成常数，把根号2021看成变量来求解。
很好
Nesbitt不等式
這兩道題都是對正實數成立的不等式，爲什麽畫蛇添足要加上a,b,c是三角形三邊的條件？
15xyz = xz + yz, 16xyz = yz + yx 17xyz=xy + xz, --> (15 + 16 + 17)xyz = 2(xy + yz +zx), --> xyz/(xy + yz +zx) = 24
(m² + n²)² = (m² - n²)² + 4m²n² = 6² + 4*4² = 100 ∴m² + n² = 10
令a = x³, 原式转化为 a³ - 2022a + √2021 = 0 a³ - 2021a - a + √2021 = 0 a(a² - 2021) - (a - √2021) = 0 a(a+√2021)(a-√2021) - (a - √2021) = 0 (a-√2021)(a² + √2021a - 1) = 0 ∴a-√2021 = 0 或 a² + √2021a - 1 = 0
令y = 4x/(x+4) => xy = 4(x-y) ----① 代入原式得 x² + y² = 20 -----② ② - ① x 2 x² + y² - 2xy = 20 - 8(x-y) (x - y)² +8(x-y) - 20 = 0 (x - y + 10)(x - y - 2) = 0 ∴ x - y + 10 = 0 或 x - y - 2 = 0 联合①式 x - y + 10 = 0 y = 4x/(x+4) 无实根 x - y - 2 = 0 y = 4x/(x+4) 解得x = 4 或 x = -2
x⁴ - 2x² - 400x = 9999 x⁴ - 2x² - 400x - 9999 = 0 x⁴ + 2x² + 1 - 2x² - 1 - 2x² - 400x - 9999 = 0 (x⁴ + 2x² + 1) - (4x² + 400x + 10000) = 0 (x² + 1)² - (2x + 100)² = 0 (x² + 1 + 2x + 100)(x² + 1 - 2x - 100) = 0 [(x+1)² + 100][(x-1)² - 100] = 0 ∴(x-1)² - 100 = 0 x-1 = ±10 x = 11 或 x = - 9
a^8 + a⁴ + 1 = a^8 + 2a⁴ + 1 - a⁴ = (a⁴ +1)² - a⁴ = (a⁴ + a² +1)(a⁴ - a² +1) = (a⁴ + 2a² +1 - a²)(a⁴ - a² +1) = [(a² + 1)² - a²](a⁴ - a² +1) = (a² + a + 1)(a² - a + 1)(a⁴ - a² +1) = 0
令a = x - 2, b = y - 3 a² + b² = 2 (a+b)² <= 2(a² + b²) = 4 -2 <= (a+b) <= 2 x + y = a +2 + b +3 = a + b + 5 ∴ (x + y)max = 2 + 5 = 7 (x + y)min = - 2 + 5 =3
面积为10只有一个答案
根號3算個1.7好了 t=2+1.7=3.7 小數部分 0.7 b是-t的小數 -t = -3.7 小數部分不就0.7 a跟b不應該長得一樣嗎? 負數的小數部分 應該是 負數-該負數的整數 銷掉整數部分 再相反一次 以-3.7為例 -3.7-(-3)= -0.7 (-0.7)*(-1)=0.7
用韋達定理得到3次方程之後，可以利用方程化簡待求式。
The X = 2 + K. and y = 2 - k. and -2<K <2. 4-K2 is=M2 + 4 . K2+M2=0. K=0. m=0. x=y=2
The second solution is (x+y)2>=4xy.16>=(m2+4)2.....M2<=0. M=0
Why do you conclude -2<k<2 before using the xy=m²+4 condition?
@ranshen1486 ..yes, just the "xy=m2+4>0. so . x>0, Y>0..but -2<K<2. doesn't matter.
M = xy + 2yz + 3zx = y(x + 2z) + 3zx = (1 - x - z)(x + 2z) + 3zx = x + 2z - x² -2zx - zx - 2z² + 3zx = -x² + x - 2z² +2z = -(x² - x + 1/4) + 1/4 - 2(z² - z + 1/4) + 2*1/4 = -(x-1/2)² - 2(z-1/2)² + 3/4 当x = 1/2, z = 1/2, y = 0时，M有最大值为3/4。
x=2+u y=2-u xy=4-u^2=m^2+4 m^2+u^2=0 m=u=0 x+2y+3m=6
有病，为神马引入pqr，解题变得复杂，显得水平高？
文明回复啊
本題沒這麼複雜。 原題左右3次方後， 左式得到 √(4(x-1))的三次多項式。 右邊得到 4x-5, 但常數項對消後， 即-1從左式移到右式後， 得 4x-4 = 4(x-1), 也是√(4(x-1))的二次多項式。 且常數項全部消掉。 也就是我們得到一個三次多項式 = 0 的形式， 且沒有常數項。 例如： a x³ + b x² + cx = 0 很顯然因式分解提出一個 x, 剩下的二次多項式即便無法分解也能用公式解。 然後換元只是爲了少寫幾個字... 如下： 令 t = 4x - 4, u = √t √(4(x-1)) - 1 = ∛(4x-5) => √t - 1 = ∛(t - 1) => u - 1 = ∛(t - 1) => u³ - 3u² + 3u -1 = t - 1 => u³ - 3u² + 3u -1 = u² - 1 => u³ - 4u² + 3u = 0 => u (u - 1) (u -3) = 0 （u 提出來後， 剩下的用十字交乘法） => u = 0, 1, 3 => t = 0, 1, 9 => 4x - 4 = 0, 1, 9 => x - 1 = 0, 1/4, 9/4 => x = 1, 5/4, 13/4
都知道x=9 了，直接假设x=2y+9，求出y不就行了。
x^2=5
本题目可以由 xyz=1 可以 认 |a| > 1 |bc| < 1 a*b*c =1 然后证明 就非常简单了
a-1 = √2023, 两边平方得：a^2 - 2a + 1= 2023 => 2022 = a^2 - 2a 代入所求式子 a^5 - 2a^4 - 2022a^3 = a^5 - 2a^4 - (a^2 - 2a) a^3 = a^5 - 2a^4 - a^5 + 2a^4 = 0
a(1/b + 1/c) + b(1/c+1/a) + c(1/a + 1/b) = a(1/a + 1/b + 1/c - 1/a) + b(1/c + 1/b + 1/a - 1/b) + c(1/a + 1/b + 1/c - 1/c) = a(1/a + 1/b + 1/c) - 1 + b(1/a + 1/b + 1/c) - 1 + c(1/a + 1/b + 1/c) - 1 = (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c - 3 = -3
我看到这题的第一反应，就是最优化方法里面的拉格朗日乘子法
提供另類想法: 令x = (a+b+c), y = ab +bc +ca, 則 x ≥ 3 且 等號成立 ⇐⇒ a = b =c =1.原式(通分整理展開)=1+(2(x-3))/(9+2x+4y) ≥ 1, 等號成立 ⇐⇒ x=3 ⇐⇒ a = b =c =1
大量的做题是学好数学的唯一有效方法
还有一种解法。。令t=x+5/x 有(t-3)(t-5)=3 t^2-8t+12=0 t=2 or t= 6 x+5/x=2 x+5/x=6 x^2-2x+5=0 or x^2-6x+5=0 x=1-+2I ,1 ,5
(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a=-3
播放列表是否可以按照：中考、高考、奥数来整理？
故弄玄虚。 令 x=a-b, y=b-c 则 a-c=x+y. 已知是 x y 的比例，求值也是 x y 的比例
这个方法比较偏门，不好配，令a+b=t, a=t-b.代入原式，德尔塔求值即可。
注意到: (1)f是恆正且增 (2) 1/f(t) =f(-t) ∴得 f(s)f(t)≥1 ⇐⇒ f(s) ≥ f(-t) ⇐⇒s ≥ -t.. 取 s = ax^2 , t = -2x+1 可解得.
有开创性？
他们相信增强做题功力可以为国家解决「卡脖子」问题
@@lylechen8881 那你认为练习画画才可以解决卡脖子对吗？还是唱歌？
@@望人在天北 做题、画画、唱歌……看来黔驴国也不过如此
@@望人在天北 做题、画画、唱歌……看来黔驴国也不过如此
另一种解法： AB-（A+B）=1， （A-1）（B-1）=2， A>1,B>1, A-1>0,B-1>0, A+B=(A-1)+(B-1)+2>=2Sqrt((A-1)(B-1))+2=2+2Sqrt (2)
请问 基本不等式 a+b>2√ab 哪个年级数学课本学的
请问怎么判断 后面的五次方程式无法分解
原式多简洁优美，分解成这么复杂的乘积有什么意义
请问这些竞赛 或奥数题 在哪里能获取
没想到这么配，我直接求导数等于0
我用判别式做，还得到了最小值是1
用三角函数做超级简单，这样太复杂，不是每个学生都有这样的思维。
还可以降幂 x^2 = 3x + 1 x^3 = 3x^2 + x = 3(3x + 1) + x = 10x + 3 x^3 / (x^6 - 9x^3 - 1) = (10x + 3) / ((10x + 3)^2 - 90x - 27 - 1) = (10x + 3) / (100x^2 + 60x + 9 - 90x - 28) = (10x + 3) / (300x + 100 - 30x - 19) = (10x + 3) / (270x + 81) = 1/27
因为x2+y2=6, 说明x+y是个定值，那么换言之就是有解，所以需要使用delta